2021高考数学(人教版)一轮复习学案36-基本不等式及其应用.docx

学案36　基本不等式及其应用

导学目标： 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简洁的最大(小)值问题．

自主梳理
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：____________.
(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥________ (a，b∈R)．
(2)＋≥____(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)2____.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：________________________________________________.
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)假如积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值是________(简记：积定和最小)．
(2)假如和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最____值是__________(简记：和定积最大)．
自我检测
1．“a>b>0”是“ab<”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．(2011·南平月考)已知函数f(x)＝x，a、b∈(0，＋∞)，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系是(　　)
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
3．下列函数中，最小值为4的函数是(　　)
A．y＝x＋
B．y＝sin x＋(0<x<π)
C．y＝ex＋4e－x
D．y＝log3x＋logx81
4．(2011·大连月考)设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)有最________值为________．
5．(2010·山东)若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________________．

探究点一　利用基本不等式求最值
例1　(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值；
(2)已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；

(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．

变式迁移1　(2011·重庆)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)
A. B．4
C. D．5
探究点二　基本不等式在证明不等式中的应用
例2　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋)(1＋)≥9.

变式迁移2　已知x>0，y>0，z>0.
求证：≥8.

探究点三　基本不等式的实际应用
例3　(2011·镇江模拟)某单位用2 160万元购得一块空地，方案在该空地上建筑一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，假如将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．
(1)写出楼房平均综合费用y关于建筑层数x的函数关系式；
(2)该楼房应建筑多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)

变式迁移3　(2011·广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2022年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，假如不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2022年生产化妆品的设备折旧、修理等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
(1)将2022年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．
(2)该企业2022年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)

1．a2＋b2≥2ab对a、b∈R都成立；≥成立的条件是a，b∈R＋；＋≥2成立的条件是ab>0，即a，b同号．
2．利用基本不等式求最值必需满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值．
3．使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数y＝ax＋，当a>0，b<0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；当a<0，b>0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；当a>0，b>0时函数在，上是减函数，在，上是增函数；当a<0，b<0时，可作如下变形：y＝－来解决最值问题．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8 B．4 C．1 D.
2．(2011·鞍山月考)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
3．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　　)
A．2 B．2 C．4 D．5
4．一批货物随17列货车从A市以a km/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了平安，两列车之间的距离不得小于2 km，那么这批货物全部运到B市，最快需要(　　)
A．6 h B．8 h C．10 h D．12 h
5．(2011·宁波月考)设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by (a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为(　　)
A. B. C. D．4
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010·浙江)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
7．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．
8．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为__________________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(1)已知0<x<，求x(4－3x)的最大值；
(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值．

10．(12分)(2011·长沙月考)经观测，某大路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y＝(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应把握在什么范围内？

11．(14分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开头使用(即有400千克不需要保管)．
(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．

学案36　基本不等式及其应用
自主梳理
1．(1)a>0，b>0　(2)a＝b　2.(1)2ab　(2)2　(4)≤
3.　　两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数　4.(1)x＝y　小　2　(2)x＝y　大　
自我检测
1．A　2.A　3.C
4．大　－2－1　5.[，＋∞)
课堂活动区
例1　解题导引　基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不愿定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解．基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必需验证等号成立的条件．
解　(1)∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)
＝＋＋10≥6＋10＝16.
当且仅当＝时，上式等号成立，又＋＝1，
∴x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
(2)∵x<，∴5－4x>0.
y＝4x－2＋＝－＋3
≤－2 ＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，
即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.
(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，
∴＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋
＝10＋2
≥10＋2×2× ＝18，
当且仅当＝，即x＝2y时取等号．
又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6.
∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.
变式迁移1　C　[∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝(＋)()＝＋(＋)≥＋2＝(当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝＋的最小值为.]
例2　解题导引　“1”的奇异代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题供应简捷的方法．
在不等式证明时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化是否有误的一种方法．
证明　方法一　由于a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＋＝1＋＝2＋.
同理1＋＝2＋.
所以(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋)
＝5＋2(＋)≥5＋4＝9.
所以(1＋)(1＋)≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
方法二　(1＋)(1＋)＝1＋＋＋
＝1＋＋＝1＋，
由于a，b为正数，a＋b＝1，
所以ab≤()2＝，于是≥4，≥8，
因此(1＋)(1＋)≥1＋8＝9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
变式迁移2　证明　∵x>0，y>0，z>0，
∴＋≥>0，
＋≥>0，
＋≥>0.
∴
≥＝8.
当且仅当x＝y＝z时等号成立．
所以(＋)(＋)(＋)≥8.
例3　解题导引　1.用基本不等式解应用题的思维程序为：
→→→→
2．在应用基本不等式解决实际问题时，要留意以下四点：(1)先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案．
解　(1)依题意得
y＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋ (x≥10，x∈N*)．
(2)∵x>0，∴48x＋
≥2＝1 440，
当且仅当48x＝，即x＝15时取到“＝”，
此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．
答　当该楼房建筑15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元．
变式迁移3　解　(1)由题意可设3－x＝，
将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.
当年生产x万件时，
∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，
∴年生产成本为32x＋3＝32＋3.
当销售x(万件)时，年销售收入为
150%＋t.
由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y＝ (t≥0)．
(2)y＝＝50－
≤50－2＝50－2＝42(万元)，
当且仅当＝，即t＝7时，ymax＝42，
∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大．
课后练习区
1．B　[由于3a·3b＝3，所以a＋b＝1，
＋＝(a＋b)＝2＋＋
≥2＋2＝4，当且仅当＝即a＝b＝时，“＝”成立．]
2．B　[不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则1＋a＋＋≥a＋2＋1≥9，
∴≥2或≤－4(舍去)．
∴正实数a的最小值为4.]
3．C　[由于＋＋2≥2＋2
＝2≥4，当且仅当＝且 ＝，
即a＝b＝1时，取“＝”号．]
4．B　[第一列货车到达B市的时间为 h，由于两列货车的间距不得小于2 km，所以第17列货车到达时间为＋＝＋≥8，当且仅当＝，即a＝100 km/h时成立，所以最快需要8 h．]
5．A
6．18
解析　由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得
xy≥2＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，
即()2－2－6≥0，
∴(－3)·(＋)≥0.
又∵>0，∴≥3，即xy≥18.
故xy的最小值为18.
7．4
解析　过原点的直线与f(x)＝交于P、Q两点，则直线的斜率k>0，设直线方程为y＝kx，由得或
∴P(，)，Q(－，－)或P(－，－)，Q(，)．
∴|PQ|＝
＝2≥4.
8．(－∞，2－1)
解析　由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，解得k＋1<3x＋，而3x＋≥2，∴k＋1<2，k<2－1.
9．解　(1)∵0<x<，∴0<3x<4.
∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤2＝，(4分)
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，“＝”成立．
∴当x＝时，x(4－3x)的最大值为.(6分)
(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，∴x＋2y＝3.
∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4.
(10分)
当且仅当即x＝，y＝时，“＝”成立．
∴当x＝，y＝时，2x＋4y的最小值为4.
(12分)
10．解　(1)y＝＝≤
＝≈11.08.(4分)
当v＝，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时(6分)
(2)据题意有≥10，(8分)
化简得v2－89v＋1 600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应把握在[25,64]这个范围内．
(12分)
11．解　(1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，其次天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最终的400千克原材料需保管(x－1)天．
∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用
y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]
＝6x2－6x.(6分)
(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x，
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为
y＝(6x2－6x＋600)＋1.5×400＝＋6x＋594.(9分)
∴y≥2＋594＝714，(12分)
当且仅当＝6x，即x＝10时，取等号．
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小，且最小为714元．(14分)

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