高中数学(北师大版)必修四教案：1.9-概念辨析：三角函数的图象与性质.docx

三角函数的图象与性质概念辨析
画出，y=cosx在上的图像是本单元的重中之重，同学们不仅会用单位中的函数线画，而且会特殊角三角函数值列出“十三”个点或“五点法”，还要会徒手描出示意图，才能实现看图说性质"想图说性质"无图也能说性质的娴熟程度．这里蕴含着以下几个问题．
1．作图的基本方法是描点法，用单位圆中的三角函数线画图实质上是列表的(十三点)一个方法，它与“十三点”法的区分只在于“十三点法”的函数值是用数给出，而单位圆法中的函数值是用有向线段的数量给出．在画，y=cosx 的图像时，都借助了函数的周期性，在取点时，留意争辩了函数曲线的存在范围，特殊点，变化趋势，对称性，肯定要取到最大值点，最小值点，零点．这些常规方法一走要讲清．
2．画的图像时，难点在列出“五个点”，这五个恰好又是同一周期的五个特殊点：三个零点，一个最大值点，一个最小值点，以为例．
令t=,则u=sint，首先列出u=sint的“老五点”
t
0

2
sint
0
1
0
-1
0
将t=代入上表
x

0

2
sin
0
1
0
-1
0

求出X与
X

0

2
sin
0
1
0
-1
0
Y=2sin
0
2
0
-2
0

上面方法的核心是用换元的思想依据的“老五点”列出了y=2sin()图像上的五点．这里体现了如何将一个较简单的问题转化为一个较简洁的问题的转化思想，同时也在告知同学们，我们总是用已知的学问去解决未知的问题，进一步体会到简洁与简单．未知与已知之间的对立、统一的辨证关系．为了给同学更大的思维空间．老师最好不直接告知同学们如何列出在一个周期内的五个特殊点？这样对培育同学的转化力量是有益的．
3．在讲周期函数概念过程中留意培育同学的抽象概括力量．同学自己抽象概括出周期函数的定义是不现实的，但我们不能因此就放弃培育同学抽象概括力量的机会．可考虑如下进行：
(1)通过对一类事物的观看发觉，抽象出该类事物的共同的本质属性．
问题1：请观看下列函数值随着变量变化时，其函数值的变化的共性是什么？
①
②
③
④在数列中，对一切nN都有
发觉其共性是：函数值是随自变量周而复始地变化．
(2)其次步是将上述粗浅的生疏进一步数学化，精确化，这里的关键是请同学留意如何用数学语言刻画“函数值随自变量周而复始地变化”．首先四个函数都存在一个不为零的常数T，①2#②2#③2#④6#，其次将这个常数加到定义域中的任意一个自变量上，其函数值就重复消灭，即永久成立，于是得出周期函数的精确的数学定义；
对于给定的函数,定义域为M，假如存在一个不为零的常数T，对于M中的任意一个x的值，必有X+TM，使得永久成立，那么函数叫做周期函数，其中不为零的常数T就叫做周期函数的周期．
(3)第三步是进一步理解定义
①函数的周期性是揭示了函数值随自变量周而复始的变化的属性，假如我们生疏到了函数的周期性，在争辩函数性质时，只须争辩该函数在一个周期内的性质，就可以了解该函数在整个定义域上的性质．
②假如一个周期函数y=的周期为T，明显KT(KZ)也是周期．但从争辩函数性质而言，我们感爱好的，也是最有有用价值的是诸周期中最小的正周期．
③依据周期函数定义推断一个函数是否是周期函数，关键是找到一个T(),使得对定义域中的任意一个x，均成立．
4．讲已知三角函数值求角时时可考虑利用单位圆中的三角函数线，用数形结合的思想，先画出角的终边，再写出所求的角，并且先求通解，后求特解更好接受．