高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章-拓展资料：导数学习中几个易错点.docx

导数学习中几个易错点
一、定义的理解与应用
例1.已知函数f（x）=2x3+5，求。
分析：本题很简洁这样做：
∵=6x2，∴==24，
或者=3=3=72。
这两种做法都是错误的，错误的缘由皆在于对导数的定义理解不深。
解：∵=6x2，
∴=－3=－3=－72。
评注：当是x在x0处的增量时，－3也是x在x0处的增量。本题的正确做法是视－3为增量，套用导数定义求得极限。
二、单调递增就是导数大于零
例2.已知向量a=(，x+1)，b= (1-x，t)若函数=a·b在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。
错解：依定义，。
若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设>0。
∵的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当，且时，在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1）上是增函数。
故t的取值范围是t>5。
剖析：若>0，则在R上是增函数反之不成立。如在R上单调递增，但≥0所以>0是为增函数的充分不必要条件。若为增函数，则≥0，反之不成立。由于≥0，即>0或=0。当函数在某区间内恒有=0时，为常数，函数不具有单调性。所以，≥0是为增函数的必要不充分条件。一般地，使=0的离散的点不影响函数在该区上的单调性。如=x+sinx.
正解：依定义，。
若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设≥0。
∵的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当，且时，
在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1）上是增函数。
故t的取值范围是t≥5。
三、极值的存在条件
例3.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a，b。
分析：抓住条件“在x=1处有极值10”所包含的两个信息，列出两个方程，解得a，b。a，b有两组值，是否都合题意需检验。
解：=3x2+2ax+b，依据题意可得，
即
，
易得此时，在x=1两侧四周符号相同，不合题意。
当时，=（3x+11）（x－1），此时，在x=1两侧四周符号相异，符合题意。
所以。
评注：极值存在的条件是在极值点处四周两侧的导数值应异号。
四、“过某点”和“在某点处“的关系
例4.过点（--1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（ ）
A 2x+y+2=0 B 3x--y+3=0 C x+y+1=0 D x--y+1=0
错解：=2x+1 所以切线的斜率K=故切线方程为即x+y+1=0
点评“在某点处”的切线表明此点是切点，而“过某点”的切线不愿定是切点。这里就忽视了二者的区分。
正解：设切点坐标是，则切线斜率为k=2x0+1
由于切线过点（--1，0）所以即所以
所以切点坐标为（0，1）或(--2,3)故切线方程为x—y+1=0或3x+y—12=0所以应选D
五、极值与最值的关系
例5.求函数f(x)=sin2x—x在上的最大值和最小值。
错解：=，令，得=0。解得或
当时，<0,所以f(x)在是减函数；当时＞0，所以f(x)是增函数；当时＜0，所以f(x)是减函数。
所以当时，f(x)取最大值；当时，f(x)取最小值。
点评：极值是比较极值点四周函数值得出的，并不意味着它在函数的某个区间上最大（小）。因此，同一函数在某一点的极大（小）值，可以比另一点的微小（大）值小（大）；而最值是指闭区间上全部函数值的比较，所以极大（小）值不愿定是最大（小）值，最值也不愿定是极值。对闭区间上的连续函数，假如在相应的开区间内可导求上最值可简化过程。即直接将极值点与端点的函数值比较，就可判定最大（或最小）的函数值就是最大（或最小）值。
正解：=，令，得=0。解得或
所以， 又，
所以函数f(x) 在上的最大值和最小值分别为。