山东省德州市某中学2022届高三上学期10月月考数学(理)试题-Word版含答案.docx

高三10月月考数学试卷（理科）

一、选择题
1．若集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={y|y=x2+1，x∈R}，则集合M∩N=（　　）
　 A． （﹣2，+∞） B． （﹣2，3） C． [1，3） D． R

2．函数的定义域为（　　）
　 A． [﹣2，0）∪（0，2] B． （﹣1，0）∪（0，2] C． [﹣2，2] D． （﹣1，2]

3．下面命题中假命题是（　　）
　 A． ∀x∈R，3x＞0
　 B． ∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ
　 C． ∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增
　 D． 命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＞3x”

4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，=，=，则=（　　）

　 A． B． C． D．

5．设a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是（　　）
　 A． b＞a＞c B． a＞b＞c C． c＞b＞a D． b＞c＞a

6．已知△ABC中三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则△ABC的面积为（　　）
　 A． B． C． 或 D． 或

7．奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＞0的解集为（　　）
　 A． （﹣1，0）∪（1，+∞） B． （﹣∞，﹣1）∪（0，1） C． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D． （﹣1，0）∪（0，1）

8．函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx下列命题中正确的是（　　）
（1）若存在x1，x2有x1﹣x2=z时，f（x1）=f（x2）成立
（2）f（x）在[﹣，]是单调递增
（3）函数f（x）关于点（，0）成中心对称图象
（4）将函数f（x）的图象向左平移个单位后将与y=2sin2x重合．
　 A． （1）（2） B． （ 1）（3） C． （ 1）（2）（3） D． （1）（3）（4）

9．已知函数f（x）=lnx+3x﹣8的零点x0∈[a，b]，且b﹣a=1，a，b∈N*，则a+b=（　　）
　 A． 5 B． 4 C． 3 D． 2

10．f（x）=是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（　　）
　 A． （1，+∞） B． [4，8） C． （4，8） D． （1，8）

二、填空题
11．如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB=1，AC=3，＜，＞=60°，则=　　　　　　．

12．由曲线y=x2，y=2x围成的封闭图形的面积为　　　　　　．

13．设α，β是锐角，则是（1+tanα）（1+tanβ）=2的　　　　　　条件（填充分不必要、必要不充分、充要和既不充分也不必要）．

14．已知函数f（x）=2sinωx在区间[﹣，]上的最小值为﹣2，则ω的取值范围为　　　　　　．

15．设函数f（x）=lnx，有以下4个命题：
①对任意的x1、x2∈（0，+∞），有；
②对任意的x1、x2∈（1，+∞），有f（x1）﹣f（x2）＜x2﹣x1；
③对任意的x1、x2∈（e，+∞），有x1f（x2）＜x2f（x1）；
④对任意的0＜x1＜x2，总有x0∈（x1，x2），使得．其中正确的是　　　　　　（填写序号）．

三、解答题
16．已知向量，且α∈（0，π）．
（1）求tan2α的值；
（2）求．

17．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点，M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图．
（1）求∠OCM的余弦值；
（2）是否存在实数λ，使，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

18．已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．

19．将函数y=f（x）的图象向左平移1个单位，再纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，然后再向上平移1个单位，得到函数的图象．
（1）求y=f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，求当x∈[0，1]时，函数y=g（x）的最小值和最大值．

20．统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数为．
（1）当x=64千米/小时时，要行驶100千米耗油量多少升？
（2）若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？

21．已知，其中a＞0．
（1）若x=3是函数f（x）的极值点，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．

高三10月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题
1．若集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={y|y=x2+1，x∈R}，则集合M∩N=（　　）
　 A． （﹣2，+∞） B． （﹣2，3） C． [1，3） D． R

考点： 交集及其运算．
专题： 计算题．
分析： 先将N化简，再求出M∩N．
解答： 解：N={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}=[1，+∞），
∵M={x|﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），
∴M∩N=[1，3）
故选C．
点评： 本题考查了集合的含义、表示方法，集合的交集的简洁运算，属于基础题．本题中N表示的是函数的值域．

2．函数的定义域为（　　）
　 A． [﹣2，0）∪（0，2] B． （﹣1，0）∪（0，2] C． [﹣2，2] D． （﹣1，2]

考点： 对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 分式的分母不为0，对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域．
解答： 解：要使函数有意义，
必需：，所以x∈（﹣1，0）∪（0，2]．
所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]．
故选B．
点评： 本题考查对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，考查计算力气．

3．下面命题中假命题是（　　）
　 A． ∀x∈R，3x＞0
　 B． ∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ
　 C． ∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增
　 D． 命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＞3x”

考点： 命题的否定；命题的真假推断与应用．
专题： 规律型．
分析： 依据含有量词的命题的真假推断方法和命题的否定分别进行推断．
解答： 解：A．依据指数函数的性质可知，∀x∈R，3x＞0，∴A正确．
B．当α=β=0时，满足sin（α+β）=sinα+sinβ=0，∴B正确．
C．当m=1时，幂函数为f（x）=x3，且在（0，+∞）上单调递增，∴C正确．
D．命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，∴D错误．
故选：D．
点评： 本题主要考查含有量词的命题的真假推断和命题的否定，比较基础．

4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，=，=，则=（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 向量在几何中的应用．
专题： 平面对量及应用．
分析： 连结CD、OD，由圆的性质与等腰三角形的性质，证出CD∥AB且AC∥DO，得到四边形ACDO为平行四边形，再依据题设条件即可得到用表示向量的式子．
解答： 解：连结CD、OD，
∵点C、D是半圆弧AB的两个三等分点，
∴=，可得CD∥AB，∠CAD=∠DAB=×90°=30°，
∵OA=OD
∴∠ADO=∠DAO=30°，
由此可得∠CAD=∠DAO=30°，
∴AC∥DO．
∴四边形ACDO为平行四边形，
∴=+=+，
故选：A
点评： 本题给出半圆弧的三等分点，求向量的线性表示式．着重考查了圆周角定理、平行四边形的判定与向量的线性运算等学问，属于中档题．

5．设a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是（　　）
　 A． b＞a＞c B． a＞b＞c C． c＞b＞a D． b＞c＞a

考点： 不等关系与不等式；指数函数的单调性与特殊点．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 分别考察指数函数y=在R上单调性，考察对数函数y=在（0，+∞）单调性，即可得出．
解答： 解：考察指数函数y=在R上单调递减，而0.3＞﹣0.2，∴，∴0＜a＜b．
考察对数函数y=在（0，+∞）单调递减，∴．即c＜0．
综上可得：b＞a＞c．
故选A．
点评： 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．

6．已知△ABC中三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则△ABC的面积为（　　）
　 A． B． C． 或 D． 或

考点： 正弦定理；三角形的面积公式．
专题： 解三角形．
分析： 由b，c及cosB的值，利用余弦定理求出a的值，再由a，c及sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
解答： 解：∵B=30°，b=1，c=，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即1=a2+3﹣3a，
解得：a=1或a=2，
当a=1时，S△ABC=acsinB=；当a=2时，S△ABC=acsinB=．
故选C
点评： 此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，娴熟把握定理及公式是解本题的关键．

7．奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＞0的解集为（　　）
　 A． （﹣1，0）∪（1，+∞） B． （﹣∞，﹣1）∪（0，1） C． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D． （﹣1，0）∪（0，1）

考点： 奇偶性与单调性的综合．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 依据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
解答： 解：由于，奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（1）=0
所以不等式＞0等价为
所以当x＞1时，f（x）＞0，即x＞1，
当x＜0时，f（x）＜0，解得x＜﹣1，
即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故选：C．
点评： 本题主要考查不等式的解法，此类问题往往借助于函数图象分析．奇函数的图象关于原点成中心对称．

8．函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx下列命题中正确的是（　　）
（1）若存在x1，x2有x1﹣x2=z时，f（x1）=f（x2）成立
（2）f（x）在[﹣，]是单调递增
（3）函数f（x）关于点（，0）成中心对称图象
（4）将函数f（x）的图象向左平移个单位后将与y=2sin2x重合．
　 A． （1）（2） B． （ 1）（3） C． （ 1）（2）（3） D． （1）（3）（4）

考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析： 首先把函数的关系式通过恒等变换变换成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质求出函数的周期，对称中心，及单调区间．
解答： 解：f（x）=cos2x﹣2sinxcosx
=cos2x﹣
=，
所以函数f（x）的周期为：，
①所以：若存在x1，x2有x1﹣x2=π时，
所以：x1=π﹣x2
则：f（x1）=f（x2）成立．
②令：（k∈Z）
解得：
所以函数的单调递减区间为：[]
所以：f（x）在[﹣，]是单调递增不成立．
③令：（k∈Z）
解得：x=
当k=0时，函数f（x）关于点（，0）成中心对称图象．
④将函数的图象向左平移得到y=
故与y=2sin2x重合相冲突．
则：（1）和（3）正确．
故选：B．
点评： 本题考查的学问要点：三角函数关系式的恒等变换，利用三角函数的性质求单调区间周期，及函数图象的平移问题，属于基础题型．

9．已知函数f（x）=lnx+3x﹣8的零点x0∈[a，b]，且b﹣a=1，a，b∈N*，则a+b=（　　）
　 A． 5 B． 4 C． 3 D． 2

考点： 函数的零点．
分析： 由f（2）f（3）＜0，和函数的单调性可得函数唯一的零点x0∈[2，3]，进而可得ab，可得答案．
解答： 解：∵f（x）=lnx+3x﹣8，可得函数为（0，+∞）上的增函数，
而且f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3+1＞0，即f（2）f（3）＜0，
故函数有唯一的零点x0∈[2，3]，且满足题意，
故a=2，b=3，a+b=5，
故选A
点评： 本题考查函数的零点，涉及对数的运算，属基础题．

10．f（x）=是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（　　）
　 A． （1，+∞） B． [4，8） C． （4，8） D． （1，8）

考点： 函数单调性的推断与证明．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 先依据当x≤1时，f（x）是一次函数且为增函数，可得一次项系数为正数，再依据当x＞1时，f（x）=ax为增函数，可得底数大于1，最终当x=1时，函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值．综合，可得实数a的取值范围．
解答： 解：∵当x≤1时，f（x）=（4﹣）x+2为增函数
∴4﹣＞0⇒a＜8
又∵当x＞1时，f（x）=ax为增函数
∴a＞1
同时，当x=1时，函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值
∴（4﹣）×1+2≤a1=a⇒a≥4
综上所述，4≤a＜8
故选B
点评： 本题以分段函数为例，考查了函数的单调性、基本初等函数等概念，属于基础题．解题时，应当留意在间断点处函数值的大小比较．

二、填空题
11．如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB=1，AC=3，＜，＞=60°，则=　　．

考点： 平面对量数量积的运算．
专题： 平面对量及应用．
分析： 依据题意，利用向量的中点坐标公式表示出向量，求模长即可．
解答： 解：如图所示，
依据题意，O为BC中点，
∴=（+），
=（+2•+）
=（12+2×1×3×cos60°+32）
=；
∴||=．
故答案为：．
点评： 本题考查了平面对量的应用问题，解题的关键是利用中点表示出向量，是基础题．

12．由曲线y=x2，y=2x围成的封闭图形的面积为　　．

考点： 定积分．
专题： 计算题．
分析： 联立解曲线y=x2及直线y=2x，得它们的交点是O（0，0）和A（2，2），由此可得两个图象围成的面积等于函数y=2x﹣x2在[0，2]上的积分值，依据定义分计算公式加以计算，即可得到所求面积．
解答： 解：由 ，解得曲线y=x2及直线y=2x的交点为O（0，0）和A（2，2）
因此，曲线y=x2及直线y=2x所围成的封闭图形的面积是
S=（2x﹣x2）dx=（x2﹣x3） =．
故答案为：．

点评： 本题给出曲线y=x2及直线y=2x，求它们围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等学问，属于基础题．

13．设α，β是锐角，则是（1+tanα）（1+tanβ）=2的　充要　条件（填充分不必要、必要不充分、充要和既不充分也不必要）．

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的推断；两角和与差的正切函数．
专题： 规律型．
分析： 依据两角和的正切公式，利用充分条件和必要条件的定义进行推断．
解答： 解：由（1+tanα）（1+tanβ）=2得1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2，
即tanα+tanβ=1﹣tanαtanβ，
∴=1，
∵α，β是锐角，
∴0＜α+β＜π，
∴．
∴则是（1+tanα）（1+tanβ）=2的充要条件．
故答案为：充要．
点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用两角和的正切公式是解决本题的关键．

14．已知函数f（x）=2sinωx在区间[﹣，]上的最小值为﹣2，则ω的取值范围为　（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）　．

考点： 正弦函数的图象．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 首先，分两种情形进行争辩：ω＞0和ω＜0，然后，分别求解即可．
解答： 解：∵函数f（x）=2sinωx在区间[﹣，]上的最小值是﹣2，
又y=2sinωx（x∈R）∈[﹣2，2]
∴当x∈[﹣，]上有最小值为﹣2时，有：
①当ω＞0时，﹣ω≤，
解得ω≥2；
②当ω＜0时，ω≤，
解得ω≤﹣3，
综上，符合条件的实数ω的取值范围为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）
点评： 本题主要考查正弦函数的单调性和最值问题，考查二角函数基本学问的把握程度，三角函数是高考的一个重要考点，确定要强化复习．

15．设函数f（x）=lnx，有以下4个命题：
①对任意的x1、x2∈（0，+∞），有；
②对任意的x1、x2∈（1，+∞），有f（x1）﹣f（x2）＜x2﹣x1；
③对任意的x1、x2∈（e，+∞），有x1f（x2）＜x2f（x1）；
④对任意的0＜x1＜x2，总有x0∈（x1，x2），使得．其中正确的是　②　（填写序号）．

考点： 命题的真假推断与应用；函数单调性的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： ①利用对数的运算性质以及基本不等式进行推断．
②依据函数的单调性的定义和性质进行推断．
③依据曲线斜率的几何意义进行推断．
④利用特殊值法进行排解．
解答： 解：∵f（x）=lnx是（0，+∞）上的增函数，
∴对于①由=ln，=ln，∵＞
故＞ 故①错误．
对于②③，不妨设x1＜x2则有f（x1）＜f（x2），
故由增函数的定义得f（x1）﹣f（x2）＜x2﹣x1 故②正确，
③不等式等价为＜，则的几何意义为曲线上的点到原点的斜率，由图象知＜不愿定成立，③错误；
对于④令e=x1＜x2=e2，得=＜1，
∵x0∈（x1，x2），∴f（x0）＞f（x1）=1，不满足．故④错误．
故答案为②．
点评： 本题考查对数函数的图象与性质的理解运用力气以及推断命题真假的方法，如特例法．

三、解答题
16．已知向量，且α∈（0，π）．
（1）求tan2α的值；
（2）求．

考点： 二倍角的正切；平行向量与共线向量；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．
专题： 三角函数的求值．
分析： （1）由两向量坐标，以及两向量平行的条件列出关系式，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinα与cosα的值，进而求出tanα的值，再利用二倍角的正切函数公式即可求出tan2α的值；
（2）原式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，其次项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后将cosα的值代入计算即可求出值．
解答： 解：（1）∵=（cosα﹣5，﹣sinα），=（sinα﹣5，cosα），∥，
∴（cosα﹣5）cosα﹣（sinα﹣5）（﹣sinα）=0，
整理得：sinα+cosα=＞0，
∵α∈（0，π），∴α∈（，π），
∴sinα﹣cosα==，
解得：sinα=，cosα=﹣，
∴tanα=﹣，
则tan2α==；
（2）∵cosα=﹣，
∴原式=1﹣cos（α+）﹣sin（α+）=1﹣cosα+sinα﹣sinα﹣cosα=1﹣cosα=．
点评： 此题考查了二倍角的正切函数公式，共线向量与平行向量，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，娴熟把握公式是解本题的关键．

17．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点，M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图．
（1）求∠OCM的余弦值；
（2）是否存在实数λ，使，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

考点： 数量积推断两个平面对量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．
专题： 平面对量及应用．
分析： （1）由题意求得 、的坐标，再依据cos∠OCM=cos＜，＞=，运算求得结果．
（2）设，其中1≤t≤5，由，得，可得（2t﹣3）λ=12．再依据t∈[1，）∪（，5]，求得实数λ的取值范围．
解答： 解：（1）由题意可得，，
故cos∠OCM=cos＜，＞==．
（2）设，其中1≤t≤5，，．
若，
则，
即12﹣2λt+3λ=0，
可得（2t﹣3）λ=12．
若，则λ不存在，
若，则，
∵t∈[1，）∪（，5]，
故．
点评： 本题主要考查用数量积表示两个两个向量的夹角，两个向量垂直的性质，属于中档题．

18．已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．

考点： 三角函数中的恒等变换应用；数量积的坐标表达式；正弦函数的定义域和值域．
专题： 计算题．
分析： （1）先利用向量数量积运算性质，求函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，最终利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；
（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最终将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．
解答： 解：（1）∵f（x）=•+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx×2cosωx+λ
=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx+λ
=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ
∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z
∴ω=+，又ω∈（，1）
∴k=1时，ω=
∴函数f（x）的最小正周期为=
（2）∵f（）=0
∴2sin（2××﹣）+λ=0
∴λ=﹣
∴f（x）=2sin（x﹣）﹣
由x∈[0，]
∴x﹣∈[﹣，]
∴sin（x﹣）∈[﹣，1]
∴2sin（x﹣）﹣=f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]
故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围为[﹣1﹣，2﹣]
点评： 本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）+k型函数的图象和性质，向量数量积运算性质，复合函数值域的求法，整体代入的思想方法，属基础题

19．将函数y=f（x）的图象向左平移1个单位，再纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，然后再向上平移1个单位，得到函数的图象．
（1）求y=f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，求当x∈[0，1]时，函数y=g（x）的最小值和最大值．

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．
专题： 计算题；三角函数的图像与性质．
分析： （1）通过函数的图象的平移变换取得红丝带解析式，然后求出函数的周期，利用增函数的单调增区间求解单调递增区间；
（2）通过函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，说明当x∈[0，1]时，y=g（x）的最值即为x∈[3，4]时，y=f（x）的最值，求解f（x）的最值，即可得到函数y=g（x）的最小值和最大值．
解答： 解：（1）函数的图象向下平移1个单位得，再横坐标缩短到原来的倍得，然后向右移1个单位得所以函数y=f（x）的最小正周期为由，
函数y=f（x）的递增区间是．
（2）由于函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称
∴当x∈[0，1]时，y=g（x）的最值即为x∈[3，4]时，y=f（x）的最值．
∵x∈[3，4]时，，
∴sin（）
∴f（x）．
∴y=g（x）的最小值是﹣1，最大值为．
点评： 本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的变换，三角函数的性质的应用，考查计算力气．

20．统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数为．
（1）当x=64千米/小时时，要行驶100千米耗油量多少升？
（2）若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）当x=64千米/小时时，要行驶100千米需要小时．即可得出耗油（（升）．
（2）设22.5升油该型号汽车可行驶a千米，可得，于是，利用导数争辩分母的单调性，求出最小值即可．
解答： 解：（1）当x=64千米/小时时，要行驶100千米需要小时
需要耗油（=11.95（升）
（2）设22.5升油该型号汽车可行驶a千米，由题意得
∴
设则当h（x）最小时，a取最大值，
由h′（x）=x﹣=，
令h′（x）=0⇒x=80当x∈（0，80）时，令h′（x）＜0，当x∈（80，120）时，令h′（x）＞0．
故当x∈（0，80）时，函数h（x）为减函数，当x∈（80，120）时，函数h（x）为增函数．
∴当x=80时，h（x）取得最小值，此时a取最大值为．
答：若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．
点评： 本题综合考查了函数模型的应用、时间速度与路程的关系、利用导数争辩函数的单调性极值与最值等基础学问与基本技能方法，属于难题．

21．已知，其中a＞0．
（1）若x=3是函数f（x）的极值点，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．

考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩函数的极值．
专题： 导数的综合应用．
分析： （1）对f（x）求导函数f′（x），由f′（3）=0，求得a的值；
（2）求f（x）导函数f′（x），争辩a的值对应f′（x）与f（x）的变化状况，从而确定f（x）的单调增区间和单调减区间；
（3）依据（2）中f（x）的单调性求出f（x）在（0，+∞）的最大值是否为f（0）=0，从而确定a的取值范围．
解答： 解：（1）∵，其中a＞0，
∴f′（x）=﹣ax+1﹣=，其中x∈（﹣1，+∞）；
∵f′（3）=0，即﹣9a﹣3（a﹣1）=0，解得a=，
∴a的值是a=；
（2）令f′（x）=0，得=0，其中x∈（﹣1，+∞）；
即ax2+（a﹣1）x=0，解得x1=0，x2=﹣1；
①当0＜a＜1时，x1＜x2，f（x）与f′（x）的变化状况如下表：
x （﹣1，0） 0
f′（x） ﹣ 0 + 0 ﹣
f（x） 减 f（0） 增 减
∴f（x）的单调增区间是，f（x）的单调减区间是（﹣1，0），；
②当a=1时，f（x）的单调减区间是（﹣1，+∞）；
③当a＞1时，﹣1＜x2＜0，f（x）与f′（x）的变化状况如下表：
x 0 （0，+∞）
f′（x） ﹣ 0 + 0 ﹣
f（x） 减 增 f（0） 减
∴f（x）的单调增区间是，f（x）的单调减区间是，（0，+∞）；
综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是，f（x）的单调减区间是（﹣1，0），；
当a=1时，f（x）的单调减区间是（﹣1，+∞）；
当a＞1，f（x）的单调增区间是．f（x）的单调减区间是，（0，+∞）；
（3）由（2）知，当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是，但，所以0＜a＜1不合题意；
当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）≤f（0），
∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为f（0）=0，符合题意；
∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，a的取值范围是{a|a≥1}．
点评： 本题考查了利用导数判定函数的单调性和求函数的最值问题，是较难的题目．