高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章-类比推理-参考教案.docx

1.2 类比推理
教学过程
一．问题情境
从一个传奇说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他制造了锯子.
他的思路是这样的：
茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.
这个推理过程是归纳推理吗？
二．数学活动
我们再看几个类似的推理实例。
例1、试依据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1) a=bÞa+c=b+c; (1) a＞bÞa+c＞b+c;
(2) a=bÞ ac=bc; (2) a＞bÞ ac＞bc;
(3) a=bÞa2=b2;等等。 (3) a＞bÞa2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否确定正确？
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相像或相同，推演出他们在其他方面也相像或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以精确表述的相像特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推想另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。即
观看、比较
联想、类推
猜想新结论

例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:

试通过类比,写出在空间中的类似结论.
巩固提高
1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线照旧为圆的状况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-----------------------------
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2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四周体性质的猜想．

直角三角形
 3个面两两垂直的四周体
∠C＝90°
3个边的长度a，b，c
2条直角边a，b和1条斜边c
 ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S
3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S
3．（2004，北京）定义“等和数列”：在一个数列中，假如每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________
1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是查找事物之间的共同或相像性质。类比的性质相像性越多，相像的性质与推想的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越牢靠。
2． 类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相像性或者全都性。
②用一类事物的性质去推想另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）