2021高中数学北师大版选修2-3学案：《组合应用举例》.docx

第7课时　组合应用举例

1.进一步巩固组合、组合数的概念.
2.学会推断组合问题及常见组合问题的几种解法.
3.培育同学转化化归的数学思想.

某校开展冬季校运会招募了20名志愿者,他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号.若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个编号较大的在另一组.那么确保5号与14号入选并被安排到同一组的选取方法有多少种?

问题1:在上述情境中,要“确保5号与14号入选并安排到同一组”,则另外两人的编号都小于5或　　　　　　,于是依据分类加法计数原理,5号与14号入选并被安排到同一组的选取方法种数为　　　　　　　　种. 
问题2:排列与组合的联系
组合可看成排列的　　　　　　　　　.对于较简单的排列问题,常用“先取元素,再排位置”,即“　　　　　　”的方法解决. 
排列与组合的区分在于取出的元素是“　　　　　　”还是“　　　　　　”,假如与挨次有关是　　　　　　,假如与挨次无关即是　　　　　　. 
问题3:有限制的组合问题
解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排解法)”.其中用直接法求解时,则应坚持“特殊元素优先选取”的原则,优先支配特殊元素的选取,再支配其他元素的选取.而选择间接法的原则是“　　　　　　”,也就是若正面问题分类较多、较简单或计算量较大,不妨从反面问题入手,试一试看是否简捷些,特殊是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此.此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的精确     含义是解决这些组合问题的关键. 
问题4:分组安排问题
(1)不平均分组:把n个元素分成p组,各组的元素不尽相同,记各组的元素个数分别为m1,m2,…,mp,则分法总数为　　　　　　　　　　　　　　. 
(2)平均分组:n=pm时,把n个元素分成p组,每组的元素个数都为m,则分法总数为　　　　　. 
(3)部分平均分组:在分组问题中,若消灭一部分组的元素个数相同,则分法总数为不均匀分组的总数除以元素相同的组数个数的全排列的商.
如:把7个元素分成3组,各组的元素个数分别为2,2,3,则分法总数为C72·C52·C33A22(有2组元素均为2,所以除以A22).
把7个元素分成5组,各组的元素个数分别为1,1,1,2,2,则分法总数为C71·C61·C51·C42·C22A33·A22(有3组元素个数均为1,所以除以A33,有2组元素均为2,所以除以A22).

1.将2名老师,4名同学分成2个小组,分别支配到甲、乙两地参与社会实践活动,每个小组由1名老师和2名同学组成,不同的支配方案共有(　　).
A.12种　　　　　　B.10种　　　　　　C.9种　　　　　　　D.8种
2.某同学要出国学习,行前和六名要好的同学站成一排照纪念照,该同学必需站在正中间,并且甲、乙两同学要站在一起,则不同的站法有(　　).
A.240种　 B.192种 C.96种　 D.48种
3.从6位同学中选出4位参与一个座谈会,要求张、王两人中至多有一个人参与,则不同选法的种数为　　　　. 
4.6本不同的书分给甲、乙、丙3位同学,每人各得2本,有多少种不同的分法?

特殊元素
某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参与竞赛,要求男、女生都有,则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为(　　).
A.85　　 B.86　　　 C.91　 D.90

分组安排问题
有6本不同的书按下列方式安排,问共有多少种不同的安排方法?
(1)分成1本、2本、3本三组;
(2)分给甲、乙、丙三人,其中1人一本,1人两本,1人三本;
(3)平均分成三组,每组2本;
(4)分给甲、乙、丙三人,每个人选2本.

有条件的组合综合问题
要从12人中选出5人去参与一项活动.
(1)A,B,C 3人必需入选有多少种不同选法?
(2)A,B,C 3人都不能入选有多少种不同选法?
(3)A,B,C 3人只有1人入选有多少种不同选法?
(4)A,B,C 3人至少1人入选有多少种不同选法?
(5)A,B,C 3人至多2人入选有多少种不同选法?

从10名高校毕业生中选3人担当村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为(　　).
A.85　　 B.56　　 C.49　　 D.28

将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的安排方案有多少种(用数字作答)?

在7名男生5名女生中选取5人,分别求符合下列条件的选法总数有多少种.
(1)A,B必需当选;
(2)A,B必不当选;
(3)A,B不全当选;
(4)至少有2名女生当选;
(5)选取3名男生和2名女生分别担当班长、体育委员等5种不同的工作,但体育委员必需由男生担当,班长必需由女生担当.

1.设集合A={0,2,4},B={1,3,5},分别从A、B中任取2个元素组成无重复数字的四位数,其中能被5整除的数共有(　　).
A.24个　 B.48个　 C.64个　 D.116个
2.10名同学合影,站成了前排3人,后排7人.现摄影师要从后排7人中抽2人站前排,其他人的相对挨次不变,则不同调整方法的种数为(　　).
A.C72A55　　　 B.C72A22　　　 C.C72A52　　　 D.C72A53
3.5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参与团体竞赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有　　　　种. 
4.某校为了提高素养训练,乐观参与社区服务,某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参与某次社区服务,假如要求至少有1名女生,那么不同的选派方案有多少种?

　　(2021年·重庆卷)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是　　　　.(用数字作答) 

　　考题变式(我来改编):

组合的应用特殊元素、特殊位置—特殊优先法平均分组—除以挨次序法不平均分组—分步乘法计数原理至多、至少问题分类加法计数原理间接排解法

第7课时　组合应用举例
学问体系梳理
问题1:都大于14　C42+C62=6+15=21
问题2:一个步骤　先取后排　有序　无序　排列　组合
问题3:正难则反
问题4:(1)Cnm1·Cn -m1m2·Cn-m1-m2m3·…·Cmpmp　(2)Cnm·Cn-mm·Cn-2mm·…·CmmApp
基础学习沟通
1.A　分两步:第一步,选派1名老师到甲地,另1名到乙地,共有C21=2种选派方法;
其次步,选派2名同学到甲地,另外2名到乙地,共有C42=6种选派方法.
由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6=12种.
2.B　依题意可分两类:
①甲、乙两同学站在该同学左边有C21A22A44=96种站法,
②甲、乙两同学站在该同学右边也有96种站法,
∴共有96×2=192种.
3.9　(法一)直接法:分两类,第一类张、王两人都不参与,有C44=1种选法;其次类张、王两人只有1人参与,有C21C43=8种选法.故共有C44+C21×C43=9种选法.
(法二)间接法:C64-C42=9种.
4.解:C62·C42·C22A33·A33=C62·C42·C22=90.
重点难点探究
探究一:【解析】由题意,可分三类考虑:
(1)男生甲入选,女生乙不入选:C31C42+C32C41+C33=31;
(2)男生甲不入选,女生乙入选:C41C32+C42C31+C43=34;
(3)男生甲入选,女生乙入选:C32+C41C31+C42=21,
∴共有入选方法种数为31+34+21=86.
【答案】B
【小结】对于含有特殊要求和特殊元素的组合一般接受特殊元素优先考虑方法,状况不定时需要分类争辩,利用分类加法原理解答.
　　探究二:【解析】(1)分三步:先选一本有C61种选法,再从余下的5本中选两本有C52种选法,最终余下的三本全选有C33种选法.由分步乘法计数原理知,安排方式共有C61·C52·C33=60种.
(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人,在(1)的基础上,还应考虑再安排问题,安排方式共有C61·C52·C33·A33=360种.
(3)由平均分组的概念可知,总的安排方式有C62·C42·C22A33=15种.
(4)在问题(3)的基础上再安排即可,共有安排方式C62·C42·C22A33·A33=C62·C42·C22=90种.
【小结】解决此题时留意两方面问题:一留意是否平均分组;二是留意是否安排到人,即是否为有序分组.不平均分组只需分步逐个取出即可,平均分组则要在逐个取出的基础上除以组数的阶乘,而有序分组则要在无序分组的基础上乘以全排列.
　　探究三:【解析】(1)只需从A,B,C之外的9人中选择2人,即有C92=36种选法.
(2)由A,B,C 3人都不能入选只需从余下9人中选择5人,即有C95=C94=126种选法.
(3)可分两步,先从A,B,C三人中选出1人,有C31种选法,再从余下的9人中选4人,有C94种选法,所以共有C31C94=378种选法.
(4)可考虑间接法,从12人中选5人共有C125种,再减去A,B,C三人都不入选的状况,有C95种,所以共有C125-C95=666种选法.
(5)可考虑间接法,从12人中选5人共有C125种,再减去A,B,C三人都入选的状况有C92种,所以共有C125-C92=756种选法.
【小结】1.对“组合问题”恰当地分类计算,是解组合题的常用方法.
2.解题时既要机敏选用直接法或间接法,又要结合两种计数原理.
思维拓展应用
应用一:C　甲、乙两人中选一个人,丙没有入选,则有C21×C72=2×7×62=42种;甲、乙两人均入选,则有C71=7种.共有42+7=49种.
　　应用二:分两步安排:第一步,将6位志愿者分成4组,其分法有C62C42C21C11A22A12;其次步,将分成的4组安排到四个不同的场馆服务的分法有A44,依据分步乘法计数原理,得不同的安排方案有C62C42C21C11A44A22A22=1080种.
　　应用三:(1)由于A,B必需当选,那么从剩下的10人中选取3人即可,故有C103=120种.
(2)从除去的A,B两人的10人中选5人即可,
故有C105=252种.
(3)全部选法有C125种,A,B全当选有C103种,
故A,B不全当选有C125-C103=672种.
(4)留意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生,故可用间接法进行,
故有C125-C51·C74-C75=596种选法.
(5)分三步进行:
第一步:选1男1女分别担当两个职务有C71·C51种;
其次步:选2男1女补足5人有C62·C41种;
第三步:为这3人支配工作有A33.
由分步乘法计数原理共有C71·C51·C62·C41·A33=12600种选法.
基础智能检测
1.C　(1)只含0不含5的有:C21C22A33=12;(2)只含5不含0的有:C22C21A33=12;(3)含有0和5的有:①当0在个位时,有C21·C21·A33=24;②当5在个位时,有C21C21A21A22=16.共有12+12+24+16=64个,选C.
2.C　从后排抽2人的方法种数是C72,前排的排列方法种数是A52.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C72A52,故选C.
3.48　①只有1名老队员的排法有C21C32A33=36种.②有2名老队员的排法有C22C31C21A22=12种.所以共有48种.
4.解:(法一)至少有1名女生参与,可分为两种状况:1名女生,3名男生;2名女生,2名男生,
故不同的方案种数为C21C43+C22C42=8+6=14.
(法二)至少有1名女生参与,可以用总的安排方案数减去没有女生参与的方案数,故所求方案种数为C64-C44=15-1=14.
全新视角拓展
590　利用直接法分类求解.一脑一内三骨的选法有C41C51C33=20种,一脑二内二骨的选法有C41C52C32=120种,一脑三内一骨的选法有C41C53C31=120种,二脑一内二骨的选法有C42C51C32=90种,二脑二内一骨的选法有C42C52C31=180种,三脑一内一骨的选法有C43C51C31=60种,所以满足题意的选法共20+120+120+90+180+60=590种.