东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：圆的方程B.docx

圆的方程(学案)B
一、学问梳理
1.圆的方程
（1）圆的标准方程
圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为（x－a）2+（y－b）2=r2.
说明：方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆.
（2）圆的一般方程
二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.（*）
将（*）式配方得
（x+）2+（y+）2=.
当D2+E2－4F＞0时，方程（*）表示圆心（－，－），半径r=的圆，把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F＞0）叫做圆的一般方程.
说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：（Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0）
a.x2、y2项系数相等且不为零.
b.没有xy项.
（2）当D2+E2－4F=0时，方程（*）表示点（－，－），当D2+E2－4F＜0时，方程（*）不表示任何图形.
（3）据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程.
（3）圆的参数方程（4-4选讲内容）
①圆心在O（0，0），半径为r的圆的参数方程为
（θ为参数）. ①
x=rcosθ，
y=rsinθ
②圆心在O1（a，b），半径为r的圆的参数方程为
（θ为参数）. ②
x=a+rcosθ，
y=b+rsinθ
说明：在①中消去θ得x2+y2=r2，在②中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做一般方程.
2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件
若上述二元二次方程表示圆，则有A=C≠0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.
在A=C≠0，B=0时，二元二次方程化为x2+y2+x+y+=0，
仅当（）2+（）2－4·＞0，即D2+E2－4AF＞0时表示圆.
故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：①A=C≠0，②B=0，③D2+E2－4AF＞0.
二、题型探究
[题型探究一]圆的标准方程
1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是
A.－1<t< B.－1<t< C.－<t<1 D.1<t<2
2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是
A.｜a｜＜1 B.a＜
C.｜a｜＜ D.｜a｜＜
3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r>0），下列结论错误的是
A.当a2+b2=r2时，圆必过原点 B.当a=r时，圆与y轴相切
C.当b=r时，圆与x轴相切 D.当b<r时，圆与x轴相交
4.将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为____________.
5.已知P（1，2）为圆x2+y2=9内确定点，过P作两条相互垂直的任意弦交圆于点B、C，则BC中点M的轨迹方程为____________.
[题型探究二]圆的方程的应用：
【例1】 （2003年春季北京）设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.

【例2】 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.

【例3】 已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.

三、方法提升：
1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.
2.求圆的方程的一般步骤：
（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；
（2）依据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；
（3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.
3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质挂念解题.
四、反思感悟
1.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有x、y项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.
2.假如问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.假如给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.
3.在一般方程中，当D2+E2－4F=0时，方程表示一个点（－，－），当D2+E2－4F<0时，无轨迹.
4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简洁化.
5.数形结合、分类争辩、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应娴熟把握.
五、课时作业：
1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则
A.D+E=0B. B.D+F=0
C.E+F=0 D. D+E+F=0
2.在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
3.圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.
4.设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为____________.
5.设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·=0.
（1）求m的值；
（2）求直线PQ的方程.

6.已知实数x、y满足x2+y2+2x－2y=0，求x+y的最小值.

培育力气
7.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求
（1）的最大值和最小值；
（2）y－x的最小值；
（3）x2+y2的最大值和最小值.

8.（文）求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并推断点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关系.
（理）已知动圆M：x2+y2－2mx－2ny+m2－1=0与圆N：x2+y2+2x+2y－2=0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周.
（1）求动圆M的圆心的轨迹方程；
（2）求半径最小时圆M的方程.

探究创新
9.（2021年黄冈市调研考试题）如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：
若=xe1+ye2（其中e1、e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量），则P点斜坐标为（x，y）.

（1）若P点斜坐标为（2，－2），求P到O的距离|PO|；
（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.

拓展题例
10、 圆x2+y2=1内有确定点A（，0），圆上有两点P、Q，若∠PAQ=90°，求过点P和Q的两条切线的交点M的轨迹方程.

11、 如图，过原点的动直线交圆x2+（y－1）2=1于点Q，在直线OQ上取点P，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求动直线绕原点转一周时P点的轨迹方程.