2021高考数学(文理通用)一轮课时作业40-直线的交点坐标与距离公式.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十)直线的交点坐标与距离公式(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2021温州模拟)点P(m-n,-m)到直线xm+yn=1的距离等于()A.m2+n2B.m2-n2C.n2-m2D.m2n2【解析】选A.把直线方程化为nx+my-mn=0,依据点到直线的距离公式得d=|n(m-n)+m(-m)-mn|m2+n2=m2+n2m2+n2=m2+n2.【方法技巧】利用点到直线距离公式的方法在利用点到直线距离公式时,确定要将直线方程化为一般形式,且尽量不要毁灭系数为分数(或小数)的状况,然后利用公式求解.2.(2021成都模拟)直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为()A.3x+4y+5=0B.3x+4y-5=0C.-3x+4y-5=0D.-3x+4y+5=0【解析】选A.直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程是3x-4(-y)+5=0,即3x+4y+5=0.【加固训练】求直线l:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线l的方程.【解析】由于ll,所以可设l的方程为2x-3y+C=0(C1),由于点A(-1,-2)到两直线l,l的距离相等,所以|-2+6+C|22+32=|-2+6+1|22+32,得C=-9,所以l的方程为2x-3y-9=0.3.(2022嘉兴模拟)若点P(4,a)到直线4x-3y=1的距离不大于3,则实数a的取值范围是()A.0,10)B.(0,10C.(-10,0D.0,10【解析】选D.由于d=|16-3a-1|42+(-3)2=|15-3a|53,所以|a-5|5,所以-5a-55,所以0a10.4.已知直线x=2及x=4与函数y=log2x图象的交点分别为A,B,与函数y=lgx图象的交点分别为C,D两点,则直线AB与CD()A.相交,且交点在第一象限B.相交,且交点在其次象限C.相交,且交点在第四象限D.相交,且交点在坐标原点【思路点拨】可先求出AB,CD的方程,然后推断结论.【解析】选D.结合图象可知直线AB与CD相交,两直线方程分别为AB:y=12x,CD:y=lg22x,则其交点为坐标原点,故选D.5.已知A,B两点分别在两条相互垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上,且线段AB的中点为P0,10a,则线段AB的长为()A.8B.9C.10D.11【解析】选C.由已知两直线相互垂直得a=2,所以线段AB中点为P(0,5),且AB为直角三角形AOB的斜边(O为两直线的交点),由直角三角形的性质得|AB|=2|PO|=10.6.(2021太原模拟)设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为3,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是()A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.x-2y+4=0D.x+y-7=0【思路点拨】由|PA|=|PB|可得点P在AB的垂直平分线上,再留意PA,PB两直线关于x=3对称即可.【解析】选D.由|PA|=|PB|知点P在AB的垂直平分线上.由点P的横坐标为3,且PA的方程为x-y+1=0,得P(3,4).直线PA,PB关于直线x=3对称,直线PA上的点(0,1)关于直线x=3的对称点(6,1)在直线PB上,所以直线PB的方程为x+y-7=0.7.若点(s,t)在直线4x+3y-10=0上,则s2+t2的最小值是()A.2B.22C.4D.23【解析】选C.由于点(s,t)在直线4x+3y-10=0上,所以4s+3t-10=0,而s2+t2表示原点与直线4x+3y-10=0上的点的距离的平方,此最小值等于原点到直线4x+3y-10=0的距离的平方.其值等于4.【误区警示】本题易毁灭选A的错误,错误缘由是将s2+t2误认为点(s,t)到原点的距离.8.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.32B.22C.33D.42【解析】选A.依题意知AB的中点M的集合为与l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离都相等的直线,则M点到原点距离的最小值为原点到该直线的距离,设M所在直线的方程为x+y+m=0(m-7,m-5),依据两平行线间的距离公式得|m+7|2=|m+5|2,解得m=-6,再依据点到直线的距离公式得,点M到原点的距离的最小值为|-6|2=32.【加固训练】点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x+2的最小距离为()A.22B.2C.22D.2【解析】选B.当点P为直线y=x+2平移到与曲线y=x2-lnx相切的切点时,点P到直线y=x+2的距离最小.设点P(x0,y0),f(x)=x2-lnx,则f(x0)=1.由于f(x)=2x-1x,所以2x0-1x0=1.又x00,所以x0=1.所以点P的坐标为(1,1),此时点P到直线y=x+2的距离为22=2.二、填空题(每小题5分,共20分)9.直线(2m-1)x-(m+1)y-(m-11)=0恒过定点.【解析】原方程可化为m(2x-y-1)+(-x-y+11)=0.由2x-y-1=0,-x-y+11=0,得x=4,y=7,所以直线恒过定点(4,7).答案:(4,7)【一题多解】本题还可以用以下方法解答:给m两个任凭不同值,把得到的两个方程组成方程组,方程组的解即为定点坐标.不妨令m=0和m=1,得-x-y+11=0,x-2y+10=0,解得x=4,y=7,所以直线恒过定点(4,7).答案:(4,7)10.(2021银川模拟)若直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离为.【解析】由两直线平行的条件得3m=46,解得m=8,此时直线6x+my+14=0的方程可化为3x+4y+7=0,所以两直线3x+4y-3=0和3x+4y+7=0间的距离为d=|7-(-3)|32+42=2.答案:2【误区警示】本题求解时易不将6x+8y+14=0化简,直接求两平行线间的距离,得到d=1710或175的错误,根本缘由是没能把握好两平行线间距离公式的应用条件.11.(2021宁波模拟)已知定点A(0,1),点B在直线x+y=0上运动,当线段AB最短时,点B坐标为.【解析】设B(x,y),则x+y=0,|AB|2=x2+(y-1)2=x2+(x+1)2=2x2+2x+1=2x+122+12,当x=-12时,点B坐标为-12,12,此时|AB|取最小值.答案:-12,1212.(力气挑战题)(2022杭州模拟)已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(1,0),一束光线从F点动身射到BC上的D点经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),则直线FD斜率的取值范围为.【解析】从特殊位置考虑.由于点A(-2,0)关于直线BC:x+y=2的对称点为A1(2,4),所以kA1F=4.由于点E(-1,0)关于直线AC:y=x+2的对称点为E1(-2,1),点E1(-2,1)关于直线BC:x+y=2的对称点为E2(1,4),此时直线E2F的斜率不存在,所以kA1FkFD,即kFD(4,+).答案:(4,+)三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.(2022丽水模拟)已知两直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.(1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与直线l2垂直.(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相等.【解析】(1)由于l1l2,所以a(a-1)+(-b)1=0,即a2-a-b=0.又点(-3,-1)在l1上,所以-3a+b+4=0.由解得:a=2,b=2.(2)由于l1l2且l2的斜率为1-a,所以l1的斜率也存在(当a=1时,不成立,舍去),则ab=1-a,即b=a1-a.故l1和l2的方程可分别表示为:l1:(a-1)x+y+4(a-1)a=0,l2:(a-1)x+y+a1-a=0,由于原点到l1和l2的距离相等,所以4a-1a=a1-a,解得a=2或a=23.因此a=2,b=-2或a=23,b=2.14.是否存在m,使得三条直线3x-y+2=0,2x+y+3=0,mx+y=0能够构成三角形?若存在,恳求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】存在能够使直线mx+y=0,3x-y+2=0,2x+y+3=0构成三角形的m值有很多个,因此我们考虑其反面状况,即三条直线不能构成三角形,有两种可能:有两条直线平行,或三条直线过同一点.由于3x-y+2=0与2x+y+3=0相交,且交点坐标为(-1,-1),因此,mx+y=0与3x-y+2=0平行时,m=-3;mx+y=0与2x+y+3=0平行时,m=2;mx+y=0过3x-y+2=0与2x+y+3=0的交点时,m=-1.综上所述,三条直线不能构成三角形时,m=-3或m=2或m=-1.满足题意的m值为m|mR且m-3且m2且m-1.15.(力气挑战题)已知点P(2,-1).(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程.(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?【解析】(1)当l的斜率k不存在时l的方程为x=2,符合题意.当l的斜率k存在时,设l:y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,由点到直线的距离公式得|-2k-1|1+k2=2,解得k=34,所以l:3x-4y-10=0.故所求l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2)数形结合可得,过点P且与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线.由lOP,得klkOP=-1,所以kl=-1kOP=2.由直线方程的点斜式得直线l的方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0,即直线2x-y-5=0是过点P且与原点O距离最大的直线,最大距离为|-5|5=5.【误区警示】本题(1)易忽视斜率不存在的状况,从而漏掉方程x=2.关闭Word文档返回原板块