2022届高三理科数学一轮复习题组层级快练72-Word版含答案.docx

题组层级快练(七十二)
1．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有(　　)
A．21种　　　　　　　　 B．315种
C．143种 D．153种
答案　C
解析　可分三类：
一类：语文、数学各1本，共有9×7＝63种；
二类：语文、英语各1本，共有9×5＝45种；
三类：数学、英语各1本，共有7×5＝35种；
∴共有63＋45＋35＝143种不同选法．
2．5名应届毕业生报考3所高校，每人报且仅报1所院校，则不同的报名方法的种数是(　　)
A．35 B．53
C．A D．C
答案　A
解析　第n名应届毕业生报考的方法有3种(n＝1,2,3,4,5)，依据分步计算原理，不同的报名方法共有3×3×3×3×3＝35(种)．
3.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　)

A．24种 B．30种
C．36种 D．48种
答案　D
解析　共有4×3×2×2＝48(种)，故选D.
4．高三班级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必需有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的支配方案有(　　)
A．16种 B．18种
C．37种 D．48种
答案　C
解析　自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的支配方案有43－33＝37种．
5．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为(　　)
A．42 B．30
C．20 D．12
答案　A
解析　将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种)．
6.(2022·沧州七校联考)已知如图的每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中，电路从P到Q接通的状况有(　　)

A．30种 B．10种
C．16种 D．24种
(提示：按有几个开关闭合分类)
答案　C
解析　5个开关闭合有1种接通方式；4个开关闭合有5种接通方式；3个开关闭合有8种接通方式；2个开关闭合有2种接通方式，故共有1＋5＋8＋2＝16种．
7．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优待卡”，则这组号码中“优待卡”的个数为(　　)
A．2 000 B．4 096
C．5 904 D．8 320
答案　C
解析　若卡号后四位数没有4且没有7，这样的卡的个数为84＝4 096，∴优待卡的个数为10 000－4 096＝5 904个，故选C.
8．某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的挨次不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．假如要实现全部不同的闪烁，那么需要的时间至少是(　　)
A．1 205秒 B．1 200秒
C．1 195秒 D．1 190秒
答案　C
解析　要实现全部不同的闪烁且需要的时间最少，只要全部闪烁连续地、不重复地依次闪烁一遍．而全部的闪烁共有A＝120个；由于在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，即每个闪烁的时长为5秒，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，所以要实现全部不同的闪烁，需要的时间至少是120×(5＋5)－5＝1 195秒．
9.(2021·山东日照模拟)将1,2,3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为(　　)

A．6种 B．12种
C．18种 D．24种
答案　A
解析　由于每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1,2,9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填好后之相邻的空格可填6,7,8任一个，余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有2×3＝6种结果，故选A.
10．若从集合P到集合Q＝{a，b，c}全部的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P全部的不同映射共有(　　)
A．32个 B．27个
C．81个 D．64个
答案　D
解析　可设P集合中元素的个数为x，由映射的定义以及分步乘法计数原理，可得P→Q的映射种数为3x＝81，可得x＝4.反过来，可得Q→P的映射种数为43＝64.
11．(2021·江南十校)已知I＝{1,2,3}，A，B是集合I的两个非空子集，且A中全部数的和大于B中全部数的和，则集合A，B共有(　　)
A．12对 B．15对
C．18对 D．20对
答案　D
解析　依题意，当A，B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A，B均有两个元素时，有3对；共20对，选择D.
12．现支配一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有__________种不同的排法．
答案　1 280
解析　完成一件事是支配值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：
第一天有5种不同排法，其次天不能与第一天已排的人相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1 280种不同的排法．
13．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，若一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________．
答案　12
解析　先选上衣，从4件上衣中选一件有4种，其次步选长裤，从3条长裤中选一条有3种，由分步乘法原理可知有4×3＝12种配法．
14．(2021·济宁模拟)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有________种．
答案　24
解析　分步完成，首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最终乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24种．
15．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,2,3,5,7这6个数字中任取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．
答案　22
解析　分成三类：A＝0，B≠0；A≠0，B＝0和A≠0，B≠0，前两类各表示1条直线；第三类先取A有5种取法，再取B有4种取法，故5×4＝20种．
所以可以表示22条不同的直线．
16．若从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．
答案　12
解析　分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有3种取法；其次步再取另外一个平面，有4种取法，由分步计数原理共有3×4＝12种取法．
17．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有______个．
答案　162
解析　一位数8个，两位数8×9＝72个．
3位数
1
×
×
有9×9＝81个，
另外
2
×
×
1个(即200)，
共有8＋72＋81＋1＝162个．
18．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．
(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？
(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？
答案　(1)11　(2)4
解析　(1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取一个或A，C袋中各取一个，或B，C袋中各取一个．
∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11种．
(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．
∴应有1＋3＝4种．
19．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？
答案　36个
解析　设较小的两边长为x、y且x≤y，
则
当x＝1时，y＝11；
当x＝2时，y＝10,11；
当x＝3时，y＝9,10,11；
当x＝4时，y＝8,9,10,11；
当x＝5时，y＝7,8,9,10,11；
当x＝6时，y＝6,7,8,9,10,11；
当x＝7时，y＝7,8,9,10,11；
……
当x＝11时，y＝11.
所以不同三角形的个数为
1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．

1．现有6名同学去听同时进行的5个课外学问讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是(　　)
A．56 B．65
C. D．6×5×4×3×2
答案　A
解析　由于每位同学均有5种讲座可供选择，所以6位同学共有5×5×5×5×5×5＝56种选法．
2.用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　)

A．400种 B．460种
C．480种 D．496种
答案　C
解析　用4种颜色涂有A种；用3种颜色涂，则A，B，C不同色，A，D同色，共有A种，∴共有A＋A＝480种．
3．将2名老师，4名同学分成2个小组，分别支配到甲、乙两地参与社会实践活动，每个小组由1名老师和2名同学组成，不同的支配方案共有(　　)
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
答案　A
解析　2名老师各在1个小组，给其中1名老师选2名同学，有C种选法，另2名同学支配给另1名老师，然后将2个小组支配到甲、乙两地，有A种方案，故不同的支配方案共有CA＝12种，故选A.
4．有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，若从三名工人中选2名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有(　　)
A．6种 B．5种
C．4种 D．3种
答案　C
解析　若选甲、乙2人，则包括甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙2人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙2人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法．
∴共有2＋1＋1＝4种不同的选派方法．
5．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有________个．
答案　32
解析　和为11的数共有5组：1与10,2与9,3与8,4与7,5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两个数，即子集中的元素取自5个组中的一个数．而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2＝25＝32.
6．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，假如只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．

解析　方法一　可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论．由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．
当S，A，B染好时，不妨设其颜色分别为1,2,3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染色；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S，A，B已染好时，C，D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420种．
方法二　以S，A，B，C，D挨次分步染色．
第一步，S点染色，有5种方法；
其次步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；
第三步，B点染色，与S，A分别在同一条棱上，有3种方法；
第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，由于C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3(1×3＋2×2)＝420种．
方法三　按所用颜色种数分类．
第一类，5种颜色全用，共有A种不同的方法；
其次类，只有4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A种不同的方法；
第三类，只有3种颜色，则A与C，B与D必定同色，共有A种不同的方法．
由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A＋2×A＋A＝420种．