高中数学(北师大版)必修四教案：2.5-考点解析：平面向量数量积.docx

平面对量数量积四大考点解析
考点一. 考查概念型问题
例1.已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数( )
⑴; ⑵反向
⑶; ⑷=
A.1 B.2 C.3 D.4
分析：需对以上四个命题逐一推断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.
解：(1)∵·=｜｜·｜｜cosθ
∴由｜·｜＝｜｜·｜｜及、为非零向量可得｜cosθ｜=1
∴θ=0或π，∴∥且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题.
(2)若,反向，则、的夹有为π，∴·=｜｜·｜｜cosπ=-｜｜·｜｜且以上各步可逆，故命题(2)是真命题.
(3)当⊥时，将向量，的起点确定在同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有｜+｜＝｜-｜.反过来，若｜+｜＝｜-｜,则以，为邻边的四边形为矩形，所以有⊥，因此命题(3)是真命题.
(4)当｜｜＝｜｜但与的夹角和与的夹角不等时，就有｜·｜≠｜·｜，反过来由｜·｜｜＝｜·｜也推不出｜｜＝｜｜.故(4)是假命题.
综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择(C).
评注：两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线.
考点二、考查求模问题
例2.已知向量，若不超过5，则k的取值范围是__________。
分析：若则，或，对于求模有时还运用平方法。
解：由，又，由模的定义，得：解得： ，故填。
评注：本题是已知模的逆向题，运用定义即可求参数的取值范围。

例3.（1）已知均为单位向量，它们的夹角为60°,那么＝（ ）
A. B. C. D. 4
（2）已知向量，向量，则的最大值是___________。
解：（1）
所以，故选C。
（2）由题意，知,
又
则的最大值为4。
评注：模的问题接受平方法能使过程简化。

考点三、考查求角问题
例4.已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.
分析：要求与的夹角，首先要求出与的夹角的余弦值，即要求出｜｜及｜｜、·，而本题中很难求出｜｜、｜｜及·，但由公式cosθ=可知，若能把·，｜｜及｜｜中的两个用另一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得与的夹角θ.
解：设与的夹角为θ. ∵+3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2，
即
解之得 2=2· 2=2· ∴2=2 ∴｜｜＝｜｜
∴cosθ===
∴θ= 因此a与b的夹角为.

考点四、考查交汇问题
是指向量与立几、解几、数列、三角等的交汇题，创新题。
例4.（1）直角坐标平面xoy中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是_________________。
（2）已知直线与圆O:相交于A、B两点，且，则___________。
解：（1）由，有，即故应填
（2）先由圆的几何性质，求得两向量的夹角是120.
故填.
评注：第（2）小题关键是运用几何法求出两向量的夹角，再运用向量的数量积公式即可。