2021高考数学总复习专题系列——直线与圆锥曲线.板块三.直线与抛物线.学生版-Word版缺答案.docx
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板块三.直线与抛物线 1.椭圆的定义:平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 2.椭圆的标准方程: ①,焦点是,,且. ②,焦点是,,且. 3.椭圆的几何性质(用标准方程争辩): ⑴范围:,; ⑵对称性:以轴、轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心; ⑶椭圆的顶点:椭圆与它的对称轴的四个交点,如图中的; ⑷长轴与短轴:焦点所在的对称轴上,两个顶点间的线段称为椭圆的长轴,如图中线段的;另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴,如图中的线段. ⑸椭圆的离心率:,焦距与长轴长之比,,越趋近于,椭圆越扁; 反之,越趋近于,椭圆越趋近于圆. 4.直线:与圆锥曲线:的位置关系: 直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离.对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切.这三种位置关系的判定条件可归纳为: 设直线:,圆锥曲线:,由 消去(或消去)得:. 若,,相交;相离;相切. 若,得到一个一次方程:①为双曲线,则与双曲线的渐近线平行;②为抛物线,则与抛物线的对称轴平行. 因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件. 5.连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦. 求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求; 另外一种求法是假如直线的斜率为,被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为,则弦长公式为. 两根差公式: 假如满足一元二次方程:, 则(). 6.直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有: ①从方程的观点动身,利用根与系数的关系来进行争辩,这是用代数方法来解决几何问题的基础.要重视通过设而不求与弦长公式简化计算,并同时留意在适当时利用图形的平面几何性质. ②以向量为工具,利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题. 典例分析 【例1】 已知抛物线的方程为,过点和点的直线与抛物线没有公共点,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【例2】 点在直线上,若存在过的直线交抛物线于,两点,且,则称点为“点”,那么下列结论中正确的是( ) A.直线上的全部点都是“点” B.直线上仅有有限个点是“点” C.直线上的全部点都不是“点” D.直线上有无穷多个点(但不是全部的点)是“点” 【例3】 如图抛物线:和圆:,其中,直线经过的焦点,依次交,于四点,则的值为 ( ) A. B. C. D. 【例4】 斜率为的直线与圆锥曲线交于两点,若弦长,则 _ 【例5】 抛物线与直线有两个不同的交点,则实数的范围是_____________. 【例6】 若直线与抛物线交于、两点,若线段的中点的横坐标是,则______. 【例7】 已知抛物线的一条弦,,,所在的直线与轴交于点,则 . 【例8】 过点作直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线有_______条 【例9】 对于抛物线:,我们称满足的点在抛物线的内部,若点在抛物线的内部,则直线:与抛物线的位置关系是_______ 【例10】 设抛物线的准线与轴交于点,若过点的直线与抛物线有公共点,则直线的斜率的取值范围是_______. 【例11】 若曲线与直线没有公共点,则、分别应满足的条件是 . 【例12】 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点,若线段的长为,则_______. 【例13】 已知抛物线(为常数,)上不同两点、的横坐标恰好是关于的方程(为常数)的两个根,则直线的方程为_________________. 【例14】 抛物线截直线所得弦长的中点坐标为_______,弦长为______. 【例15】 已知抛物线,过定点作一弦,则_______. 【例16】 已知抛物线过点, ⑴求抛物线的焦点坐标与准线方程; ⑵直线:与抛物线交于两点,求线段的中点坐标及的值. 【例17】 ⑴设抛物线被直线截得的弦长为,求值. ⑵以⑴中的弦为底边,以轴上的点为顶点作三角形,当三角形的面积为时,求点坐标. 【例18】 已知点到定点()与它到定直线的距离相等, ⑴求动点的轨迹方程; ⑵设过点的直线与的轨迹交于、两点,设,当直线与的斜率都存在时,求证直线、的斜率之和为. 【例19】 在平面直角坐标系中,过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于两点.若点是点关于坐标原点的对称点,求面积的最小值. 【例20】 过抛物线的对称轴上的定点作直线与抛物线相交于、两点,若点为定直线:上的任意一点,试证明:三条直线、、的斜率成等差数列. 【例21】 已知抛物线.过动点且斜率为的直线与该抛物线交于不同的两点、.若,求的取值范围. 【例22】 已知曲线为顶点在原点,以轴为对称轴,开口向右的抛物线,又点到抛物线的准线的距离为, ⑴求抛物线的方程; ⑵证明:过点的任意一条直线与抛物线恒有公共点; ⑶若⑵中的直线分别与抛物线交于上下两点,,,,,,,,又点,,,的纵坐标依次成公差不为的等差数列,试分析与的大小关系. 【例23】 已知抛物线和圆,过点作直线交抛物线于、,交圆于(自下而上依次为),且,求实数的取值范围. 【例24】 已知一条曲线在轴右边,上每一点到点的距离减去它到轴距离的差是1. ⑴求曲线的方程; ⑵是否存在正数,对于过点且与曲线有两个交点,的任始终线,都有?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由. 【例25】 已知,点在轴上,点在轴的正半轴上,点在直线上,且满足, ⑴当点在轴上移动时,求点的轨迹; ⑵过点作直线与轨迹交于、两点,若在轴上存在一点,使得是等边三角形,求的值. 【例26】 已知分别是椭圆的左、右焦点,曲线是以坐标原点为顶点,以为焦点的抛物线,自点引直线交曲线于、两个不同的交点,点关于轴的对称点记为.设. ⑴求曲线的方程; ⑵证明:; ⑶若,求的取值范围. 【例27】 已知抛物线,点关于轴的对称点为,直线过点交抛物线于两点. ⑴证明:直线的斜率互为相反数; ⑵求面积的最小值; ⑶当点的坐标为,且.依据⑴⑵推想并回答下列问题(不必说明理由): ①直线的斜率是否互为相反数? ②面积的最小值是多少? 【例28】 过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于、两点,自、向直线作垂线,垂足分别为、. ⑴当时,求证:⊥; ⑵记、、的面积分别为、、,是否存在,使得对任意的,都有成立.若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 【例29】 已知曲线是到点和到直线距离相等的点的轨迹.是过点的直线,是上(不在上)的动点;、在上,,轴(如图). ⑴求曲线的方程; ⑵求出直线的方程,使得为常数. 【例30】 已知抛物线:,点在轴的正半轴上,过的直线与相交、两点,为坐标原点. ⑴若,的斜率为1,求以为直径的圆的方程; ⑵若存在直线使得,,成等比数列,求实数的取值范围. 【例31】 已知抛物线的焦点为,过点的直线与相交于、两点,点关于轴的对称点为. ⑴证明:点在直线上; ⑵设,求的内切圆的方程 . 【例32】 已知抛物线及定点,是抛物线上的点,设直线与抛物线的另一交点分别为. 求证:当点在抛物线上变动时(只要存在且与是不同两点),直线恒过确定点,并求出定点的坐标 【例33】 在平面直角坐标系中,直线与抛物线相交于不同的两点. ⑴假如直线过抛物线的焦点,求的值; ⑵假如证明直线必过确定点,并求出该定点. 【例34】 在平面直角坐标系中,设点,直线,点在直线上移动,是线段与轴的交点, ,. ⑴求动点的轨迹的方程; ⑵记的轨迹的方程为,过点作两条相互垂直的曲线的弦、,设、的中点分别为,. 求证:直线必过定点. 【例35】 已知:为坐标原点,点、、、满足,,,,. ⑴当变化时,求点的轨迹方程; ⑵若是轨迹上不同与的另一点,且存在非零实数,使得, 求证:.- 配套讲稿:
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