湖南省衡阳市八中2022届高三上学期第一次月考-数学(文)-Word版含答案.docx

2022年一般高等学校招生全国统一考试
文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合，则C
A、 B、 C、 D、
（2）设向量＝(2,4)与向量＝(x,6)共线，则实数x＝B
A、2 B、3 C、4 D、6
（3）若为实数,且,则D
A、 B、 C、 D、
（4）某学校为了了解三班级、六班级、九班级这三个班级之间的同学视力是否存在显著差异，拟从这三个班级中按人数比例抽取部分同学进行调查，则最合理的抽样方法是C
A、抽签法 B、系统抽样法 C、分层抽样法 D、随机数法
（5）已知抛物线的准线经过点（-1，0），则抛物线焦点坐标为B
A、 B、 C、 D、
（6）“”是“”的A
A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
（7）设是等差数列的前项和,若,则A
A、 B、 C、 D、
（8）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是B
A、y＝sin(2x＋) B、y＝cos(2x＋)
C、y＝sin2x＋cos2x D、y＝sinx＋cosx
（9）执行如图所示的程序框图,输出的S值为C
A、1 B、3 C、7 D、15
（10）设，则C
A、 B、 C、 D、
（11）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为D
A、 B、
C、 D、
（12）设函数,则使得
成立的的取值范围是A
A、 B、 C、 D、
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分
（13）已知x、y为正实数，且=2，则x+y的最小值是 。
（14）函数在其极值点处的切线方程是__________.
（15）若满足，则目标函数的最大值为 4 .
（16）在区间上随机地选择一个数p，则方程有两个负根的概率为________.2/3
三.解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
（17）（本小题满分12分）
在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a＝2csinA．
(1)确定角C的大小；
(2)若c＝，且△ABC的面积为，求a＋b的值．
解：(1)由a＝2csinA及正弦定理得，sinA＝2sinCsinA．
∵sinA≠0，∴sinC＝，∵△ABC是锐角三角形，∴C＝.
(2)∵C＝，△ABC面积为，∴absin＝，即ab＝6.①
∵c＝，∴由余弦定理得a2＋b2－2abcos＝7，即a2＋b2－ab＝7.②
由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③
将①代入③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.
（18）（本小题满分12分）
如图，圆锥的顶点为，底面圆为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点，已知，
（1）求三棱锥的体积；1/3
（2）求异面直线和所成角的余弦值。

（19）（本小题满分12分）
随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气状况进行统计，结果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴

日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
(1)在4月份任取一天，估量西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开头进行连续两天的运动会，估量运动会期间不下雨的概率.
解： (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估量概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率是.
(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”（如1日与2日，2日与3日等）这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为，
以频率估量概率，运动会期间不下雨的概率为.
（20）（本小题满分12分）
如图，椭圆经过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.

解：(1)由题意知，综合，解得，
所以，椭圆的方程为.
(2)由题设知，直线的方程为，代入，得
，
由已知，设，，则，
从而直线与的斜率之和

.
（21）.（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝(a∈R)，g(x)＝.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．
解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.
令f′(x)＝0，得x＝e1－a，
当x∈(0，e1－a)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当x∈(e1－a，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减函数．
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e1－a]，
单调递减区间为[e1－a，＋∞)，
极大值为f(x)极大值＝f(e1－a)＝ea－1，无微小值．
(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝，
则F′(x)＝.令F′(x)＝0，得x＝e2－a；
令F′(x)>0，得x<e2－a；令F′(x)<0，得x>e2－a，
故函数F(x)在区间(0，e2－a]上是增函数，在区间[e2－a，＋∞)上是减函数．
①当e2－a<e2，即a>0时，函数F(x)在区间(0，e2－a]上是增函数，
在区间[e2－a，e2]上是减函数，F(x)max＝F(e2－a)＝ea－2.
又F(e1－a)＝0，F(e2)＝>0，
由图象，易知当0<x<e1－a时，F(x)<0；
当e1－a<x≤e2时，F(x)>0，
此时函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上有1个公共点．
②当e2－a≥e2，即a≤0时，
F(x)在区间(0，e2]上是增函数，F(x)max＝F(e2)＝.
若F(x)max＝F(e2)＝≥0，即－1≤a≤0时，
函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上只有1个公共点；
若F(x)max＝F(e2)＝<0，即a<－1时，
函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上没有公共点．
综上，满足条件的实数a的取值范围是[－1，＋∞)．
（22）（本小题满分10分）
在直角坐标系中，直线:x=,圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求，C2的极坐标方程。
（2）若直线C3的极坐标为=（ρR）,设C2与C3的交点为M，N,求△C2MN的面积