2022届数学一轮(文科)人教B版配套作业-第2章-第2讲--函数的单调性与最值.docx
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第2讲 函数的单调性与最值 基础巩固题组 (建议用时:40分钟) 一、选择题 1.(2022·潍坊模拟)下列四个函数中,在区间(0,1)上是减函数的是 ( ) A.y=log2x B.y= C.y=- D.y= 解析 y=log2x在(0,+∞)上为增函数;y=在(0,+∞)上是增函数;y= 在(0,+∞)上是减函数,y=-在(0,+∞)上是增函数;y=在(0,+∞)上是减函数,故y=在(0,1)上是减函数.故选D. 答案 D 2.(2022·济南模拟)若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是 ( ) A.(-1,0) B.(-1,0)∪(0,1] C.(0,1) D.(0,1] 解析 ∵f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2在[1,2]上是减函数,∴a≤1.① 又g(x)=(a+1)1-x在[1,2]上是减函数. ∴a+1>1,∴a>0.② 由①②知,0<a≤1. 答案 D 3.(2022·长沙月考)已知函数f(x)为R上的减函数,则满足f <f(1)的实数x的取值范围是 ( ) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析 由f(x)为R上的减函数且f <f(1), 得即 ∴-1<x<0或0<x<1. 答案 C 4.(2022·广州模拟)已知函数y=f(x)的图象关于x=1对称,且在(1,+∞)上单调递增,设a=f ,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为 ( ) A.c<b<a B.b<a<c C.b<c<a D.a<b<c 解析 ∵函数图象关于x=1对称,∴a=f =f ,又y=f(x)在(1, +∞)上单调递增, ∴f(2)<f <f(3),即b<a<c. 答案 B 5.已知函数f(x)=log2x+,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则 ( ) A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 解析 ∵函数f(x)=log2x+在(1,+∞)上为增函数,且f(2)=0, ∴当x1∈(1,2)时,f(x1)<f(2)=0, 当x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0, 即f(x1)<0,f(x2)>0. 答案 B 二、填空题 6.(2022·中山质检)y=-x2+2|x|+3的单调增区间为________. 解析 由题意知 当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4; 当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 二次函数的图象如图. 由图象可知,函数y=-x2+2|x|+3在(-∞,-1],[0,1]上是增函数. 答案 (-∞,-1],[0,1] 7.(2021·沈阳质检)函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________. 解析 由于y=在R上递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3. 答案 3 8.设函数f(x)=在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a的取值范围是________. 解析 f(x)==a-, ∵函数f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数. ∴⇒⇒a≥1. 答案 [1,+∞) 三、解答题 9.已知函数f(x)=-,x∈[0,2],求函数的最大值和最小值. 解 设x1,x2是区间[0,2]上的任意两个实数,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-- =-=-. 由0≤x1<x2≤2,得x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故f(x)在区间[0,2]上是增函数.因此,函数f(x)=-在区间[0,2]的左端点取得最小值,右端点取得最大值,即最小值是f(0)=-2,最大值是f(2)=-. 10.已知f(x)=(a,b,c∈R且a>0,b>0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,且f(x)的递增区间是,试求a,b,c的值. 解 由f(x)=-f(-x)得c=0. 又∵f(x)=在上递增, 且x>0时f(x)=≥==2,∴b2=a. 又∵x=时,f(x)min=2, ∴f ==2,∴ 故a,b,c的值分别为4,2,0. 力气提升题组 (建议用时:25分钟) 11.已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+∞)上确定 ( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 解析 由题意知a<1,又函数g(x)=x+-2a在[,+∞)上为增函数,故选D. 答案 D 12.(2022·武汉二模)若f(x)=是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为 ( ) A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8) 解析 函数f(x)在(-∞,1)和[1,+∞)上都为增函数,且f(x)在(-∞,1)上的最高点不高于其在[1,+∞)上的最低点,即解得a∈[4,8). 答案 B 13.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是________. 解析 依题意,h(x)= 当0<x≤2时,h(x)=log2x是增函数, 当x>2时,h(x)=3-x是减函数, ∴h(x)在x=2时,取得最大值h(2)=1. 答案 1 14.已知f(x)=,x∈[1,+∞). (1)当a=时,求函数f(x)的最小值; (2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围. 解 (1)当a=时,f(x)=x++2,任取1≤x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+=, ∵1≤x1<x2,∴x1x2>1,∴2x1x2-1>0. 又x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1)=. (2)在区间[1,+∞)上,f(x)=>0恒成立, 则⇔等价于a大于函数φ(x)=-(x2+2x)在[1,+∞)上的最大值. 只需求函数φ(x)=-(x2+2x)在[1,+∞)上的最大值. φ(x)=-(x+1)2+1在[1,+∞)上递减, ∴当x=1时,φ(x)最大值为φ(1)=-3. ∴a>-3,故实数a的取值范围是(-3,+∞).- 配套讲稿:
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