(北师大版)数学必修1同步测试：第三章指数函数和对数函数3.6.docx

第三章　§6　

一、选择题
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应当是(　　)
A．y＝100x B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
[答案]　D
[解析]　由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x的增长速度最快．
2．若－1<x<0，则不等式中成立的是(　　)
A．5－x<5x<0.5x B．5x<0.5x<5－x
C．5x<5－x<0.5x D．0.5x<5－x<5x
[答案]　B
[解析]　在同一坐标系内作出y＝5x，y＝0.2x，y＝0.5x的图像，由－1<x<0，观看图像知5x<0.5x<5－x.
3．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，有(　　)
A．f(x)>g(x) B．g(x)>f(x)
C．f(x)≥g(x) D．g(x)≥f(x)
[答案]　A
[解析]　在同始终角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x的图像的上方，则f(x)>g(x)．

4．某个企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元．从今年起，方案每人的年薪比上一年增加10%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为8千元，其次年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么第x年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成x的函数，其表达式为(　　)
A．y＝(3x＋5)1.1x＋2.4
B．y＝8×1.1x＋2.4x
C．y＝(3x＋8)1.1x＋2.4
D．y＝(3x＋5)1.1x－1＋2.4
[答案]　A
[解析]　第一年企业付给工人的工资总额为
8×1.1＋3×0.8(万元)，
其次年应付给工人的工资总额为
(8＋3)×1.12＋3×0.8(万元)，
依次类推：第x年企业付给工人的工资总额应为
y＝[8＋3(x－1)]×1.1x＋2.4＝(3x＋5)×1.1x＋2.4.
5．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
[答案]　A
[解析]　由题意得函数f(x)是减函数，在四个选项中，只有A符合，故选A.
6．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则y与x的函数关系为(　　)
A．y＝0.9576 B．y＝0.9576100x
C．y＝x D．y＝1－0.0424
[答案]　A
[解析]　设镭每年放射掉其质量的百分比为t，则有95.76%＝(1－t)100，所以t＝1－，所以y＝(1－t)x＝0.9576.
二、填空题
7．方程2x＝2－x的解的个数为____________．
[答案]　1
[解析]　分别作出函数y＝2x与y＝2－x的图像如图所示，易得两图像只有一个交点，即原方程只有一个解．

8．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…，这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是________．
[答案]　y＝2x(x∈N＋)
[解析]　该函数为指数函数型y＝2x(x∈N＋)．
三、解答题
9．求方程logax＝x－2(0<a<1)的实数解的个数．
[解析]　∵求方程logax＝x－2(0<a<1)有实数解的个数，就是求函数y＝logax(0<a<1)与函数y＝x－2的图像的交点个数，如图所示，可知只有一个实数解．

10．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)推断函数f(x)的单调性．
[解析]　(1)由ax－1>0得ax>1，
∴当a>1时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)；
当0<a<1时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)．
(2)当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上是增函数．
证明如下：
当a>1时，设0<x1<x2，则a x1<a x2，
∴0<ax1－1<a x2－1，
∴loga(a x1－1)<loga(a x2－1)，
即f(x1)<f(x2)．
故函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
同理可证：当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上是增函数.

一、选择题
1．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是(　　)
A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2x
C．2x>log2x>x2 D．x2>log2x>2x
[答案]　B
[解析]　在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图像，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像．
所以x2>2x>log2x.
2．设a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
[答案]　A
[解析]　∵y＝x在(0，＋∞)上是增加的，
∴a>c.
∵y＝()x(x∈R)为减函数，∴c>b.∴a>c>b.
二、填空题
3．函数y＝的反函数是________．
[答案]　y＝
[解析]　∵x<0时，y＝x＋1，
∴x＝y－1，
∵x<0，∴y<1，∴其反函数为y＝x－1(x<1)．
又x≥0时，y＝ex，∴x＝lny.
∵x≥0，∴y≥1，∴其反函数为y＝lnx(x≥1)，
∴反函数为y＝
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f(x)＝log3(1＋x)，则f(－2)＝________.
[答案]　－1
[解析]　设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝log3(1－x)，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－log3(1－x)(x<0)．所以f(－2)＝－log33＝－1.
三、解答题
5．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，争辩燕子的科学家发觉，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
[分析]　(1)由题中所给函数式令v＝0即可；(2)令函数式Q＝80即可求得此时的v.
[解析]　(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入函数关系式可得：0＝5log2，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入函数关系式得y＝5log2＝5log28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.
6．比较下列各题中两个值的大小．
(1)30.8,30.7；　　　　(2)0.213,0.233；
(3)2，1.8； (4)log2.10.9，log2.20.9.
[解析]　(1)函数y＝3x是增函数，∴30.8>30.7；
(2)函数y＝x3是增函数，∴0.213<0.233；
(3)∵函数y＝x在[0，＋∞)上递增，∴2>1.8，
又∵函数y＝1.8x在R上递增，
∴1.8>1.8，故2>1.8；
(4)留意到两个对数的真数相同，
可先比较log0.92.1与log0.92.2的大小．
∵0<0.9<1,2.1<2.2，
∴由对数函数的单调性得log0.92.1>log0.92.2，如图

又∵log0.92.2<log0.92.1<0，
∴<，即log2.10.9<log2.20.9.
另外，也可以利用对数函数图像，当底数大于1时，底数越大，在直线x＝1左侧图像越靠近x轴，由图可得，log2.10.9<log2.20.9.
7．已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图，设两个函数的图像相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1<x2.

(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a，b的值，并说明理由．
[分析]　(1)由指数函数和幂函数不同的增长速度可推断曲线应的函数；(2)通过计算比较函数值的大小关系，求出a，b的值．
[解析]　(1)依据指数函数与幂函数的增长速度知：C1对应函数g(x)＝x3，C2对应函数f(x)＝2x.
(2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值．当x<x1时，2x>x3，即f(x)>g(x)；
当x1<x<x2时，f(x)<g(x)；
当x>x2时，f(x)>g(x)．
由于f(1)＝2，g(1)＝1，f(2)＝22＝4，g(2)＝23＝8，
所以x1∈[1,2]，即a＝1；
又由于f(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，
f(8)<g(8)，f(9)＝29＝512，
g(9)＝93＝729，f(9)<g(9)．
f(10)＝210＝1024，g(10)＝103＝1000，f(10)>g(10)，所以x2∈[9,10]，即b＝9.