2020-2021学年人教A版高中数学选修1-2双基限时练3.docx

双基限时练(三)
1．下列关于归纳推理的说法中错误的是(　　)
A．归纳推理是由一般到一般的一种推理过程
B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程
C．归纳推理得出的结论具有偶然性，不肯定正确
D．归纳推理具有由具体到抽象的生疏功能
答案　A
2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排列起来，那么第36颗珠子的颜色是(　　)
○○○●●○○○●●○○○●●○○……
A．白色
B．黑色
C．白色可能性大
D．黑色可能性大
答案　A
3．由数列1,10,100,1000，…猜想该数列的第n项可能是(　　)
A．10n　　　　　　　　　 B．10n－1
C．10n＋1 D．11n
答案　B
4．n个连续自然数按规律排列如下：

依据规律，从2010到2022，箭头的方向依次是(　　)
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
解析　观看特例的规律知：位置相同的数字是以4为公差的等差数列，由↑可知从2010到2022为↑→.
答案　C
5．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式为(　　)
A．n2－1 B．n2－2n＋2
C．2n－1 D．2n－1＋1
解析　∵a1＝1，an＝2an－1＋1，∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，归纳猜想知an＝2n－1.
答案　C
6．观看下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为(　　)
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
解析　观看等式知，左边分子之和等于8，分母之和等于0，右边都是2，只有选项A适合．
答案　A
7．顺次计算数列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，……的前4项的值，由此猜想：
an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1的结果为________．
解析　a1＝1＝12，a2＝1＋2＋1＝4＝22，
a3＝1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，
a4＝1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，
…，
由此可以猜想an＝n2.
答案　n2
8．由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：
______________________________________________________.
答案　凸n边形的内角和是(n－2)×180°(n≥3)
9．观看以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝，
sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝，
sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝.
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，为_________________________________________________________．
答案　sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝
10．(1)如图所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面分成了多少个区域？

顶点数
边数
区域数
a

b

c

d

(2)观看上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
(3)现已知某个平面图形有1006个顶点，且围成了1006个区域，试依据以上关系确定这个平面图形有多少条边？
解　(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为：

顶点数
边数
区域数
a
3
3
2
b
8
12
6
c
6
9
5
d
10
15
7
(2)观看：
3＋2－3＝2；
8＋6－12＝2；
6＋5－9＝2；
10＋7－15＝2.
通过观看发觉，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.
(3)由已知V＝1006，F＝1006，代入(2)中关系式，得E＝2010.
故这个平面图形有2010条边．
11．设an是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n≥1，n∈N)，试归纳出这个数列的一个通项公式．
解　当n＝1时，a1＝1，且2a－a＋a2·a1＝0，
即2a＋a2－1＝0解得a2＝；
当n＝2时，由
3a－2()2＋a3＝0，
即6a＋a3－1＝0，
解得a3＝，
…
由此猜想：an＝.
12．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝，通过观看上述等式的规律，请写出一般性的命题：________________＝(*)，并给出(*)式的证明．
解　一般式为：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝.
证明如下：左边＝＋＋
＝－[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]
＝－(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)
＝－
＝＝右边，
所以sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝成立．
(注：将一般式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝等均正确．)