2022高考总复习(人教A版)高中数学-第八章-平面解析几何-第3讲-圆的方程.docx
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1、第3讲圆的方程1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心:(a,b),半径:r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心:(,),半径:2.点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系:(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0a)2(y0b)2r2(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0a)2(y0b)2r2(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0a)2(y0b)2r2做一做1圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21D
2、x2(y3)21答案:A2点(1,1)在圆(xa)2(ya)24内,则实数a的取值范围是()A(1,1)B(0,1)C(,1)(1,) D(1,)解析:选A.点(1,1)在圆的内部,(1a)2(1a)24,1a1.1辨明两个易误点(1)解答圆的问题,应留意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算(2)对于方程x2y2DxEyF0表示圆时易忽视D2E24F0这一条件2待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,
3、E,F的方程组,进而求出D,E,F的值做一做3方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件的是()A.m1 Bm1Cm1解析:选B.由(4m)2445m0,得m1.4圆心在y轴上且经过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是()Ax2y210y0 Bx2y210y0Cx2y210x0 Dx2y210x0解析:选B.设圆心为(0,b),半径为r,则r|b|,圆的方程为x2(yb)2b2.点(3,1)在圆上,9(1b)2b2,解得:b5.圆的方程为x2y210y0._求圆的方程_依据下列条件,求圆的方程:(1)经过P(2,4)、Q(3,1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6;(2)圆心在直线y4
4、x上,且与直线l:xy10相切于点P(3,2)解(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0,将P、Q点的坐标分别代入得又令y0,得x2DxF0.设x1,x2是方程的两根,由|x1x2|6,有D24F36,由解得D2,E4,F8或D6,E8,F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.(2)设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2,依据已知条件得解得因此所求圆的方程为(x1)2(y4)28.规律方法求圆的方程,主要有两种方法:(1)几何法:具体过程中要用到学校有关圆的一些常用性质和定理如:圆心在过切点且与切线垂直的直线上;圆心在任意弦的中垂线上;两圆相切时,切点与两圆心三点共线(
5、2)代数法:依据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式,求出相关量一般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式不论是哪种形式,都要确定三个独立参数,所以应当有三个独立等式1.(1)已知圆心为C的圆经过点A(0,6),B(1,5),且圆心在直线l:xy10上,求圆的标准方程;(2)若不同的四点A(5,0)、B(1,0)、C(3,3)、D(a,3)共圆,求a的值解:(1)法一:设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0),则圆心坐标为.由题意可得消去F得,解得,代入求得F12,所以圆的方程为x2y26x4y120,标准方程为(x3)2(y2)225.法二:由于A(0,6),
6、B(1,5),所以线段AB的中点D的坐标为,直线AB的斜率kAB1,因此线段AB的垂直平分线l的方程是y,即xy50.圆心C的坐标是方程组的解,解得,所以圆心C的坐标是(3,2)圆的半径长r|AC|5,所以,圆心为C的圆的标准方程是(x3)2(y2)225.(2)设过A、B、C三点的圆的方程为x2y2DxEyF0,分别代入A、B、C三点坐标,得解得A、B、C三点确定的圆的方程为x2y24xy50.D(a,3)也在此圆上,a294a2550.a7或a3(舍去)即a的值为7._与圆有关的最值问题(高频考点)_与圆有关的最值问题,是高考命题的热点,多以选择题、填空题的形式呈现,试题难度不大,多为简洁
7、题、中档题高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度:(1)求一次或二次式的最值;(2)求圆上的点与圆外点距离的最值;(3)求圆上的点到直线距离的最值;(4)求z的最值已知实数x,y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值;(2)求yx的最大值和最小值;(3)求x2y2的最大值和最小值解原方程可化为(x2)2y23,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设k,即ykx.当直线ykx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时,解得k(如图1)所以的最大值为,最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距,当直线yxb与圆相切时
8、,纵截距b取得最大值或最小值,此时,解得b2(如图2)所以yx的最大值为2,最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何学问知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)又圆心到原点的距离为2,所以x2y2的最大值是(2)274,x2y2的最小值是(2)274.规律方法与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:(1)与圆有关的长度或距离的最值问题,转化为圆的圆心到点、直线的距离,再加半径、减半径求出最值;(2)形如形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(3)形如taxby形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(4)形如(xa)2(yb)
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