2013-2020学年高一下学期数学人教A版必修2教案-第1章第1.1.1节4.docx

【新课教学过程设计（四）】
第一章 空间几何体
第1.1节 柱、锥、台、球的结构特征
一、新课导入：
1. 争辩：经典的建筑给人以美的享受，其中奇特为何？世间万物，为何千姿百态？
2. 提问：学校与学校在平面上争辩过哪些几何图形？在空间范围上争辩过哪些？
3. 导入：进入高中，在必修②的第一、二章中，将连续深化争辩一些空间几何图形，即学习立体几何，留意学习方法：直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算.

二、讲授新课：
1. 教学棱柱、棱锥的结构特征：
(1)提问：举例生活中有哪些实例给我们以两个面平行的形象？
(2)争辩：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，
得到的几何体有哪些公共特征？把这些几何体用水平
力推斜后，仍旧有哪些公共特征？
(3)定义：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，且每相邻
两个四边形的公共 边都相互平行，由这些面所围成
的几何体叫棱柱.
→ 列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽）
结合图形生疏:底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线.
(4)分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱
柱、五棱柱等. 表示：棱柱ABCDE-A’B’C’D’E’
(5)争辩：埃及金字塔具有什么几何特征？
(6)定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三
角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.
结合图形生疏：底面、侧面、侧棱、顶点、高.
→争辩：棱锥如何分类及表示？
(7)争辩：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的
性质？
棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形
棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相像，
其相像比等于顶点到截面距离与高的比的平方.
(8)争辩：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？
(9) 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.
→列举生活中的实例
结合图形生疏：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高.
争辩：棱台的分类及表示？ 圆台的表示？圆台可如何旋转而得？
(10)争辩：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？
棱台：两底面所在平面相互平行；两底面是对应边相互平行的相像多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.
圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.
(11) 争辩：棱、圆与柱、锥、台的组合得到6个几何体. 棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥有什么关系？ （以台体的上底面变化为线索）

2. 教学圆柱、圆锥的结构特征：
(1) 争辩：圆柱、圆锥如何形成？
(2) 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.
→ 列举生活中的棱柱实例 →结合图形生疏：底面、轴、侧面、母线、高. → 表示方法
(3) 争辩：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？ → 柱体、锥体.
(4) 观看书P2若干图形，找出相应几何体； 举例：生活中的柱体、锥体.
(5) 争辩：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？
(6) 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.
→列举生活中的实例
结合图形生疏：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高.
争辩：棱台的分类及表示？ 圆台的表示？圆台可如何旋转而得？
(7) 争辩：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？
棱台：两底面所在平面相互平行；两底面是对应边相互平行的相像多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.
圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.
(8) 争辩：棱、圆与柱、锥、台的组合得到6个几何体. 棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥有什么关系？ （以台体的上底面变化为线索）
3．教学球体的结构特征：
① 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体.
→列举生活中的实例
结合图形生疏：球心、半径、直径.
→ 球的表示.
② 争辩：球有一些什么几何性质？
③ 争辩：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体）
棱台与棱柱、棱锥有什么共性？（多面体）
4. 小结：几何图形；相关概念；相关性质；生活实例
三、巩固练习：1. 练习：教材P7 1、2题.
2. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5cm,,面积为12cm,求圆锥的底面半径.
3.已知圆柱的底面半径为3cm,,轴截面面积为24cm,求圆柱的母线长.
4.正四棱锥的底面积为46,侧面等腰三角形面积为6,求正四棱锥侧棱.

§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征

学习目标：生疏柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简洁物体的结构.逐步培育观看力量和抽象概括力量.
学问要点：

结 构 特 征

图例
棱柱
（1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形；
（2）侧棱平行且相等.
圆柱
（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴；
（3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.

棱锥
（1）底面是多边形，各侧面均是三角形；
（2）各侧面有一个公共顶点.
圆锥
（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.

棱台
（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分.
圆台
（1）两底面相互平行；
（2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分.

球
（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.

例题精讲：
【例1】请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称.
（1）由7个面围成，其中两个面是相互平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形；

（2）如右图，一个圆环面围着过圆心的直线l旋转180°.
解：（1）特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形.
几何体为正五棱柱.
（2）由两个同心的大球和小球,大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体,
即空心球.
【例2】若三棱锥的底面为正三角形,侧面为等腰三角形,侧棱长为2,底面周长为9,
求棱锥的高.

解：底面正三角形中，边长为3，高为，中心到顶点距离为
，则棱锥的高为.
【例3】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、
下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，
求圆台的母线长.
解：设圆台的母线为，截得圆台的上、下底面半径分别为，.
依据相像三角形的性质得，，解得.
所以，圆台的母线长为9cm.
点评：用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，留意抓住截面的性质（与底面全等或相像），同时结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相像三角形中的相像比，构设相关几何变量的方程组而解得.

【例4】长方体的一条对角线与一个顶点处的三条棱所成的角分别为，求
与的值.

解：设长方体的一个顶点动身的长、宽、高分别为a、b、c，相应对角线长为l，则.
，
∴ =1.
，
∴ =2.
点评：从长方体的一个顶点动身的对角线与三条棱，均位于直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系“”、“”而求. 关键在于找准直角三角形中的三边，斜边是长方体的对角线，角的邻边是各棱长，角的对边是相应矩形面的对角线.

※基础达标
1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ）.
A.底面是正方形，有两个侧面是矩形 B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱
2．下列说法中正确的是（ ）.
A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
D. 圆锥侧面开放图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径
3．下列说法错误的是（ ）.
A. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等
B. 九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C. 六角螺帽、三棱镜都是棱柱
D. 三棱柱的侧面为三角形
4．用一个平面去截正方体，所得的截面不行能是（ ）.
A. 六边形 B. 菱形 C. 梯形 D. 直角三角形
5．下列说法正确的是（ ）.
A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形 B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形
C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形
6．设圆锥母线长为l，高为，过圆锥的两条母线作一个截面，则截面面积的最大值为 .
7．若长方体的三个面的面积分别为6,3,2，则此长方体的对角线长为 .
※力量提高
8．长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长.

9．如图所示，长方体.（1）这个长方体是棱柱吗？假如是，是几棱柱？为什么？

（2）用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？假如是，是几棱柱，并用符号表示. 假如不是，说明理由.

※探究创新
10．现有一批长方体金属原料，其长宽高的规格为12×3×3.1(长度单位：米). 某车间要用这些原料切割出两种长方体，其长宽高的规格第一种为3×2.4×1，其次种为4×1.5×0.7．若这两种长方体各需900个，假设忽视切割损耗，问至少需多少块金属长方体原料？如何切割？此时材料的利用率是多少？(计算到小数点后面3位)

参考答案

1～5 DCDDC； 6. ； 7. .
8. 解：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则，而对角线长
.
9. 解：（1）是棱柱，并且是四棱柱. 由于以长方体相对的两个面作底面都是全等的四边形，其余各面都是矩形，且四条侧棱相互平行，符合棱柱定义.
（2）截面BCNM的上方部分是三棱柱，下方部分是四棱柱.
10. 解：把原料切割出所需的两种长方体而没有余料，只有两种切法，见图(Ⅰ)和(Ⅱ). 切法(Ⅰ)切割出12个第一种长方体和6个其次种长方体，切法(Ⅱ)切割出5个第一种长方体和18个其次种长方体.
取3块原料，2块按切法(Ⅰ)切割，1块按切法(Ⅱ)切割．得到29个第一种长方体和30个其次种长方体．因此，取90块原料，其中60块按切法(Ⅰ)切割， 30块按切法(Ⅱ)切割，共得到 870个第一种长方体和900个其次种长方体．至此，没产生任何余料，但还差30个第一种长方体．再取2块原料，按切法(Ⅲ)切割(见图)，得30个第一种长方体．每块原料剩下12×3×0.1的余料．因此，为了得到这两种长方体各 900个，至少需 90＋2＝92块原料.
此时，材料的利用率为