2021届高考数学(理科-全国通用)二轮专题配套word版练习：专题七-第3讲-统计与统计案例.docx

第3讲　统计与统计案例
考情解读　1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在学问交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础学问、基本技能，有时在学问交汇点处命题，也会毁灭解答题，都属于中、低档题．

1．随机抽样
(1)简洁随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．
(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规章在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．
(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．
2．常用的统计图表
(1)频率分布直方图
①小长方形的面积＝组距×＝频率；
②各小长方形的面积之和等于1；
③小长方形的高＝，全部小长方形的高的和为.
(2)茎叶图
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．
3．用样本的数字特征估量总体的数字特征
(1)众数、中位数、平均数

数字特征
样本数据
频率分布直方图
众数
毁灭次数最多的数据
取最高的小长方形底边中点的横坐标
中位数
将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)
把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标
平均数
样本数据的算术平均数
每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
(2)方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
标准差：
s＝ .
4．变量的相关性与最小二乘法
(1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数．
(2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，通过求Q＝(yi－a－bxi)2最小时，得到线性回归方程＝x＋的方法叫做最小二乘法．
5．独立性检验
对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y，其样本频数列联表是

y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
n
则K2(χ2)＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．

热点一　抽样方法
例1　(1)(2021·陕西)某单位有840名职工，现接受系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(　　)
A．11 B．12 C．13 D．14
(2)(2022·石家庄高三调研)某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从全部师生中抽取一个容量为160的样本，已知从同学中抽取的人数为150，那么该学校的老师人数是________．
思维启迪　(1)系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽取号码的间隔相同；(2)分层抽样最重要的是各层的比例．
答案　(1)B　(2)200
解析　(1)由＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为＝＝12.
(2)本题属于分层抽样，设该学校的老师人数为x，所以＝，所以x＝200.
思维升华　(1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．
　(1)某校高一、高二、高三分别有同学人数为495,493,482，现接受系统抽样方法，抽取49人做问卷调查，将高一、高二、高三同学依次随机按1,2,3，…，1 470编号，若第1组有简洁随机抽样方法抽取的号码为23，则高二应抽取的同学人数为(　　)
A．15 B．16 C．17 D．18
(2)(2022·广东)已知某地区中学校生人数和近视状况分别如图①和图②所示．为了解该地区中学校生的近视形成缘由，用分层抽样的方法抽取2%的同学进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　)

A．200,20 B．100,20
C．200,10 D．100,10
答案　(1)C　(2)A
解析　(1)由系统抽样方法，知按编号依次每30个编号作为一组，共分49组，高二同学的编号为496到988，在第17组到第33组内，第17组抽取的编号为16×30＋23＝503，为高二同学，第33组抽取的编号为32×30＋23＝983，为高二同学，故共抽取高二同学人数为33－16＝17，故选C.
(2)该地区中、学校生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，
则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A.
热点二　用样本估量总体
例2　(1)(2022·山东)为了争辩某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，全部志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的挨次分别编号为第一组，其次组，…，第五组，如图是依据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与其次组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(　　)

A．6 B．8 C．12 D．18
(2)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是依据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是(　　)
A．甲 B．乙
C．甲乙相等 D．无法确定
甲

乙

2
0.04
1
2
3
6

9
3
0.05
9

6
2
1
0.06
2
9

3
3
1
0.07
9

6
4
0.08
7

7
0.09
2
4
6

思维启迪　(1)依据第一组与其次组的人数和对应频率估量样本总数，然后利用第三组的频率和无疗效人数计算；(2)直接依据公式计算方差．
答案　(1)C　(2)A
解析　(1)志愿者的总人数为＝50，
所以第三组人数为50×0.36＝18，
有疗效的人数为18－6＝12.
(2)＝(0.042＋0.053＋0.059＋0.061＋0.062＋0.066＋0.071＋0.073＋0.073＋0.084＋0.086＋0.097)÷12≈0.068 9，
＝(0.041＋0.042＋0.043＋0.046＋0.059＋0.062＋0.069＋0.079＋0.087＋0.092＋0.094＋0.096)÷12≈0.067 5，
s2＝[(0.042－0.068 9)2＋(0.053－0.068 9)2＋…＋(0.097－0.068 9)2]≈0.000 212.
s2＝[(0.041－0.067 5)2＋(0.042－0.067 5)2＋…＋(0.096－0.067 5)2]≈0.000 429.
所以甲、乙两地浓度的方差较小的是甲地．
思维升华　(1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其凹凸能够描述频率的大小，高考中经常考查频率分布直方图的基本学问，同时考查借助频率分布直方图估量总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够依据公式求解数据的均值、众数和中位数、方差等．
(2)由样本数据估量总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．
　(1)某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．

(2)(2022·陕西)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为(　　)
A．1＋a,4 B．1＋a,4＋a
C．1,4 D．1,4＋a
答案　(1)10　(2)A
解析　(1)由频率分布直方图可知：
＝，所以x＝10.
(2)＝1，yi＝xi＋a，
所以y1，y2，…，y10的均值为1＋a，方差不变仍为4.
故选A.
热点三　统计案例
例3　(1)以下是某年2月某地区搜集到的新居屋的销售价格y和房屋的面积x的数据.
房屋面积x/m2
115
110
80
135
105
销售价格y/万元
24.8
21.6
18.4
29.2
22
依据上表可得线性回归方程＝x＋中的＝0.196 2，则面积为150 m2的房屋的销售价格约为________万元．
(2)(2022·江西)某人争辩中同学的性别与成果、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中同学，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是(　　)
表1
成果
性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力
性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3
智商
性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4
阅读量
性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A.成果 B．视力 C．智商 D．阅读量
思维启迪　(1)回归直线过样本点中心(，)；
(2)依据列联表，计算K2的值
答案　(1)31.244 2　(2)D
解析　(1)由表格可知＝(115＋110＋80＋135＋105)＝109，
＝(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2.
所以＝－＝23.2－0.196 2×109＝1.814 2.
所以所求线性回归方程为＝0.196 2x＋1.814 2.
故当x＝150时，销售价格的估量值为＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．
(2)A中，a＝6，b＝14，c＝10，d＝22，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
K2＝＝.
B中，a＝4，b＝16，c＝12，d＝20，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
K2＝＝.
C中，a＝8，b＝12，c＝8，d＝24，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
K2＝＝.
D中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
K2＝＝.
∵<<<，
∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．
思维升华　(1)线性回归方程求解的关键在于精确     求出样本点中心．回归系数的求解可直接把相应数据代入公式中求解，回归常数的确定则需要利用中心点在回归直线上建立方程求解；(2)独立性检验问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后代入K2(χ2)计算公式求其值，依据K2(χ2)取值范围求解即可．
　(1)已知x、y取值如下表：
x
0
1
4
5
6
8
y
1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x＋，则等于(　　)
A．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.80
(2)某争辩机构为了争辩人的脚的大小与身高之间的关系，随机抽测了20人，若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”，“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”．得以下2×2列联表：

高个
非高个
总计
大脚
5
2
7
非大脚
1
12
13
总计
6
14
20
则在犯错误的概率不超过________的前提下认为人的脚的大小与身高之间有关系．
(附：
P(K2>k)
0.05
0.01
0.001
k
3.841
6.635
10.828
)
答案　(1)B　(2)0.01
解析　(1)依题意得，＝×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，
＝(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25；
又直线＝0.95x＋必过样本点中心(，)，即点(4，5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋，由此解得＝1.45.
(2)由题意得
K2＝≈8.802>6.635.
而K2>6.635的概率约为0.01，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为人的脚的大小与身高之间有关系．

1．随机抽样的方法有三种，其中简洁随机抽样适用于总体中的个体数量不多的状况，当总体中的个体数量明显较多时要使用系统抽样，当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样．系统抽样最重要的特征是“等距”，分层抽样，最重要的是各层的“比例”．
2．用样本估量总体
(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.
(2)众数、中位数及平均数的异同：众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．
(3)当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估量总体分布．
①总体期望的估量，计算样本平均值＝xi.②总体方差(标准差)的估量：方差＝ (xi－)2，标准差＝，方差(标准差)较小者较稳定．
3．线性回归方程 ＝ x＋ 过样本点中心(，)，这为求线性回归方程带来很多便利．
4．独立性检验
(1)作出2×2列联表．(2)计算随机变量K2(χ2)的值．(3)查临界值，检验作答．

真题感悟
1．(2022·江苏)为了了解一片经济林的生长状况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.

答案　24
解析　底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，
底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，
样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.
2．(2022·重庆)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　)
A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4
答案　A
解析　由于变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排解选项C和D.
由于样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A和B中的线性回归方程进行检验，可以排解B，故选A.
押题精练
1．某地区对某路段大路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，依据该图，时速在70 km/h以下的汽车有________辆．

答案　20
解析　时速在70 km/h以下的汽车所占的频率为0.01×10＋0.03×10＝0.4，共有0.4×50＝20(辆)．
2．某训练出版社在高三期末考试结束后，从某市参与考试的考生中选取600名同学对在此期间购买教辅资料的状况进行调研，得到如下数据：
购买图书状况
只买试题类
只买讲解类
试题类和讲解类都买
人数
240
200
160
若该训练出版社方案用分层抽样的方法从这600人中随机抽取60人进行座谈，则只买试题类的同学应抽取的人数为________．
答案　24
解析　只买试题类的同学应抽取的人数为60×＝24.
3．下表供应了某厂节能减排技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
依据上表供应的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为________．
答案　3
解析　∵样本点中心为，∴＝0.7×4.5＋0.35，解得t＝3.
4．春节期间，“厉行节省，反对铺张”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：

做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
附：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
k0
2.706
3.841
5.024
K2＝
参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
答案　C
解析　由公式可计算K2的观测值k＝＝≈3.03>2.706，所以有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选C.

(推举时间：40分钟)
一、选择题
1．(2022·湖南)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)
A．p1＝p2<p3
B．p2＝p3<p1
C．p1＝p3<p2
D．p1＝p2＝p3
答案　D
解析　由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.
2．某中学高中一班级有400人，高中二班级有320人，高中三班级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二班级被抽取的人数为(　　)
A．28 B．32
C．40 D．64
答案　D
解析　由已知，得样本容量为400＋320＋280＝1 000，
所以，高中二班级被抽取的人数为×320＝64，选D.
3．(2021·江西)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开头由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B．07
C．02 D．01
答案　D
解析　从第1行第5列、第6列组成的数65开头由左到右依次选出的数为：08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.
4．为了了解某城市今年预备报考飞行员的同学的体重状况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为120，则抽取的同学人数是(　　)

A．240 B．280
C．320 D．480
答案　D
解析　由频率分布直方图知：同学的体重在65～75 kg的频率为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25，
则同学的体重在50～65 kg的频率为1－0.25＝0.75.
从左到右第2个小组的频率为0.75×＝0.25.
所以抽取的同学人数是120÷0.25＝480.
5．某产品在某零售摊位上的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：
x
16
17
18
19
y
50
34
41
31
由上表可得线性回归方程＝x＋中的＝－4，据此模型估量零售价定为15元时，每天的销售量为(　　)
A．48个 B．49个
C．50个 D．51个
答案　B
解析　由题意知＝17.5，＝39，代入线性回归方程得＝109,109－15×4＝49，故选B.
6．某校为了争辩同学的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持的两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有________的把握认为“同学性别与支持该活动有关系．”(　　)
附：
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
A.0.1% B．1%
C．99% D．99.9%
答案　C
解析　由于7.069与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“同学性别与支持该活动有关系”，选C.
7.某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势状况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和中位数y甲，y乙进行比较，下面结论正确的是(　　)
A.甲>乙，y甲>y乙
B.甲<乙，y甲<y乙
C.甲<乙，y甲>y乙
D.甲>乙，y甲<y乙
答案　B
二、填空题
8．从某中学高一班级中随机抽取100名同学，将他们的成果(单位：分)数据绘制成频率分布直方图(如图)．则这100名同学成果的平均数、中位数分别为________．

答案　125,124
解析　由图可知(a＋a－0.005)×10＝1－(0.010＋0.015＋0.030)×10，解得a＝0.025，则＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125.中位数在120～130之间，设为x，则0.01×10＋0.03×10＋0.025×(x－120)＝0.5，解得x＝124.
9.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影竞赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发觉有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应当是__________．
答案　1
解析　当x≥4时，＝≠91，
∴x<4，∴＝91，
∴x＝1.
10．(2021·辽宁)为了考察某校各班参与课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参与该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．
答案　10
解析　设5个班级中参与的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，
则由题意知＝7，
(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，
五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20，
由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4.
由|x－7|＝1可得x＝8或x＝6.
由上可知参与的人数分别为4,6,7,8,10，
故最大值为10.
三、解答题
11．(2022·课标全国Ⅱ)某地区2007年至2021年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2022
2021
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化状况，并猜想该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估量公式分别为：
＝，＝－ .
解　(1)由所给数据计算得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，
＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求线性回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，＝0.5>0，故2007年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2021年的年份代号t＝9代入(1)中的线性回归方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故猜想该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
12．某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：
API
[0,50]
(50，100]
(100，150]
(150，200]
(200，250]
(250，300]
>300
空气质量
优
良
略微污染
轻度污染
中度污染
中重度污染
重度污染
天数
4
13
18
30
9
11
15
(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位：元)与空气质量指数API(记为w)的关系式为：
S＝，试估量在本年度内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；
(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染．完成下面2×2列联表，并推断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？

非重度污染
重度污染
合计
供暖季

非供暖季

合计

100
附：
P(K2≥k0)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2＝.

解　(1)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为大事A，
由200<S≤600，得150<w≤250，频数为39，
所以P(A)＝.
(2)依据以上数据得到如下列联表：

非重度污染
重度污染
合计
供暖季
22
8
30
非供暖季
63
7
70
合计
85
15
100
K2的观测值k＝
≈4.575>3.841.
所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．