2020-2021学年北师大版高中数学必修1：第四章-函数应用-单元同步测试.docx

阶段性检测卷四
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．若方程f(x)＝0有4个解，则函数y＝f(x)的零点个数是(　　)
A．1 B．2个
C．3个 D．4个
答案　D
2．函数y＝1＋的零点是(　　)
A．(－1,0) B．x＝－1
C．x＝1 D．x＝0
解析　由1＋＝0，得x＝－1.
答案　B
3．某乡镇企业的一个蔬菜生产基地共有8位工人，过去每人年薪为1万元，从2022年起，方案每人每年的工资比上一年增加20%，并每年新招3位工人，每位新工人第一年年薪为8千元，其次年开头拿与老工人一样数额的年薪，那么第n年付给工人的工资总额y(万元)表示成n的函数为(　　)
A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4
B．y＝8×1.2n＋2.4n
C．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4
D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4
解析　第n年共有(3n＋8)位工人，其中新工人3人，老工人(3n＋5)人，老工人的工资总额为(3n＋5)·(1＋20%)n＝(3n＋5)×1.2n,3位新工人的工资总额为3×0.8＝2.4.所以第n年付给工人的工资总额y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4.
答案　A
4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋2的两个零点是－和，则g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)
A．－12和－2 B．6和0
C.和0 D．－2和6
解析　由f(x)＝ax2＋bx＋2的两个零点是－，，由韦达定理得得
∴g(x)＝bx2－ax＝－2x2＋12x＝－2x(x－6)
故g(x)的零点是0,6.答案为B.
答案　B
5．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)内零点的个数为(　　)
A．至多一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
解析　若a≠0时，由二次函数的图像知答案为C；当a＝0时，答案也为C.
答案　C
6．实数a，b，c是图像连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足a<b<c，f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，c)上零点有(　　)
A．2个 B．奇数个
C．偶数个 D．至少2个
解析　∵f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，
f(a)f(c)>0，即图像在区间(a，c)上至少有2个交点．
答案　D
7．在(－2,2)上有零点，且能用二分法求零点的是(　　)
A．y＝x2－2x－3 B．y＝x2－2x＋1
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝－x2＋2x－3
答案　A
8．已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图像是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析　f(1)＝－1，f(2)＝2，∴f(－1)·f(2)<0
∴方程f(x)＝0在(1,2)内必有实数根．
答案　B
9．某商店把原定价每台为2640元的彩电以九折优待售出时，仍可获利20%，那么这种彩电每台的进价是(　　)
A．1980元 B．2000元
C．2112元 D．2200元
解析　设每台彩电进价为x元，由题意得2640×90%－x＝x×20%，解得x＝1980(元)．
答案　A
10．给出下列命题：①y＝1是幂函数；②函数y＝|x＋2|－2x在R上有3个零点；③(x－2)≥0的解集为[2，＋∞)；④当n≤0时，幂函数y＝xn的图像与两坐标轴不相交．其中正确的命题是(　　)
A．①②④ B．①②③④
C．②④ D．①②③
答案　C
二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共25分．将答案填在题中横线上．)
11．对于二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________.(填区间)
答案　(2,3)
12．现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．
解析　两组值(1,2)，(2,5)都满足甲、乙两模型，又把(3,10.2)代入两模型检验得，甲模型拟合效果更好．
答案　甲
13．假如函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________．
解析　∵函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，
则f(0)＝0，
∴m＋3＝0，∴m＝－3，
则f(x)＝x2－3x，于是另一个零点是3.
答案　3
14．若函数f(x)＝x2＋3x＋a在[0,1]有且只有一个零点，则实数a的取值范围是________．
解析　当Δ＝9－4a＝0时，a＝时，不合题意．当Δ>0时，由题意可得f(0)·f(1)≤0得－4≤a≤0.
答案　[－4,0]
15．在不考虑空气阻力的状况下，火箭(除燃料外)的质量m kg，火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg的函数关系是v＝2000 ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度才能达到12 km/s.
解析　设M＝tm，则有2000ln(1＋t)＝12000.即ln(1＋t)＝6，解得t＝e6－1.
答案　e6－1
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
16．(12分)求下列函数的零点．
(1)f(x)＝x2－4x＋3；
(2)f(x)＝log2(3x－2)－1
解　(1)由x2－4x＋3＝0，得(x－1)(x－3)＝0，
∴x＝1，或x＝3.
∴函数f(x)的零点为1和3.
(2)由log2(3x－2)－1＝0，得3x－2＝2，∴x＝.
故函数f(x)＝log2(3x－2)－1的零点为.
17．(12分)已知函数f(x)＝x2－mx－m＋3，是否存在实数m满足一个零点在(0,1)内，另一个零点在(1,2)内，若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．
解　假设存在实数m，使f(x)的一个零点在(0,1)内，另一个零点在(1,2)内，则有
得2<m<.
∴当2<m<时，f(x)的一个零点在(0,1)内，另一个零点在(1,2)内．
18．(12分)若函数f(x)＝lnx＋x2－a有且只有一个零点在(1,2)内，求实数a的取值范围．
解　∵f(x)＝lnx＋x2－a在(1,2)内单调递增，又f(x)在(1,2)内有且只有一个零点．
∴得
∴a的取值范围是1<a<4＋ln2.
19．(13分)已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1)．
(1)求函数f(x)的定义域．
(2)求函数f(x)的零点．
(3)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
解　(1)要使函数有意义，则有解得－3<x<1.
所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数f(x)可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)，由f(x)＝0得－x2－2x＋3＝1
即x2＋2x－2＝0，解得x＝－1±.
∵－1±∈(－3,1)，
∴f(x)的零点是－1±.
(3)函数f(x)可化为
f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]．
∵－3<x<1，∴0<－(x＋1)2＋4≤4，∵0<a<1，
∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4.即f(x)min＝loga4，
∴loga4＝－4得a－4＝4，∴a＝4＝.
20．(13分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c和一次函数g(x)＝－bx，其中a，b，c满足a>b>c；a＋b＋c＝0(a，b，c∈R)，求证：两函数的图像交于不同的两点．
证明　图像的交点问题可以转化为求方程的根的问题．
由消去y得
ax2＋2bx＋c＝0，
Δ＝4b2－4ac＝4(－a－c)2－4ac
＝4(a2＋ac＋c2)＝4.
∵a＋b＋c＝0，a>b>c，
∴a>0，c<0.∴c2>0，∴Δ>0.
∴两函数的图像交于不同的两点．
21．(13分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓舞销售商订购，打算当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，依据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
(1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(2)当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得利润是多少元？(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本)
解　(1)当0＜x≤100时，P＝60，
当100＜x≤500时，
P＝60－0.02(x－100)＝62－.
∴P＝f(x)＝(x∈N)．
(2)设销售商一次订购量为x件时，
工厂获得的利润为L元，则
L＝(P－40)x＝(x∈N)．
当x＝450时，L＝5850(元)．
因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获得的利润是5850元．