2020-2021学年高中人教B版数学选修2-1课时作业：3.2.5.docx

3.2.5　距离(选学)

课时目标　把握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、异面直线(已知公垂线段)间的距离和点到平面的距离．

1．一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的________值，叫做图形与图形的距离．若两个图形相交，则距离确定为______．
2．一点到它在一个平面内__________的距离，叫做这点到这个平面的距离．
3．一条直线上的__________，与它________的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．
4．和两个平行平面同时________的直线，叫做这两个平面的公垂线．公垂线夹在________________________，叫做这两个平面的公垂线段，两平行平面的__________，叫做两平行平面的距离．
5．设a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝____________________，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
dAB＝____________________________.
6.

点到平面的距离：一点到它在一个平面内的__________的距离叫做这一点到这个平面的距离，如图所示，设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，则点B到平面α的距离d＝________________.若n0是平面α的单位法向量，则d＝__________.
7．异面直线的距离
(1)和两条异面直线都______________的直线叫做两条异面直线的公垂线．任意两条异面直线有且只有________公垂线．
(2)两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的_ _____________，两条异面直线的公垂线段的________叫做两条异面直线的距离．

一、选择题
1.若O为坐标原点，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)
A. B．2 C. D.
2．在直角坐标系中，设A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，则A、B两点间的距离为(　　)
A．2 B.
C. D．3
3．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　)
A. B. C. D.
4.

如图所示，在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为(　　)
A. B.
C. D．2
5.

如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　)
A. B.
C. D.
6．若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　)
A. B．1 C. D.
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案

二、填空题
7．已知夹在两平行平面α、β间的斜线段AB＝8 cm，CD＝12 cm，AB和CD在α内的射影长的比为3∶5，则α和β的距离为________．
8．已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为__________．
9．棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________．
三、解答题
10．已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．

11．已知正方形ABCD与正方形CDEF构成120°的二面角，CD＝a，求CD到平面AEF 的距离．

力气提升
12.

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．
求直线AD与平面PBC的距离．

13．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，

而且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜ )．
(1)求MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小．

1．求点到平面的距离的方法有三种：
(1)定义法：这是常规方法，首先过点向平面作垂线，确定垂足的位置，然后把该垂线段归结到一个直角三角形中，解三角形求得．
(2)等体积法：把点到平面的距离视为一个三棱锥底面的高，利用三棱锥转换底面求体积，进而求得距离．
(3)向量法：这是我们常用到的方法，利用向量法求点到平面的距离的一般步骤为：①求出该平面的一个法
向量；②找出从该点动身的平面任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的确定值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
2．异面直线间的距离就是两异面直线公垂线段的长度．其向量求法如下：设l1、l2是两条异面直线，n是l1与l2公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是l1、l2上的任意两点，则l1、l2的距离d＝＝.

3．2.5　距离(选学)
学问梳理
1．最小　零
2．正射影
3．任一点　平行
4．垂直　平行平面间的部分　公垂线段的长度
5.

6．正射影　　|·n0|
7．(1)垂直相交　一条　(2)公垂线段　长度
作业设计
1．D　[由题意＝(＋)＝(2，，3)，
＝－＝(－2，－，－3)，
PC=||＝ ＝.]
2．．A　[作AE⊥x轴交x轴于点E，BF⊥x轴交x轴于点F，则

＝＋＋，
2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝2＋2＋2＋2·
＝9＋25＋4＋2×3×2×＝44，
∴||＝2.]
3．B　[

如图所示，＝(2,0,0)，＝(1,0,2)，
∴cos θ＝
＝＝，
∴sin θ＝＝，
A到直线BE的距离d＝||sin θ＝2×＝.]
4．B　[

建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1，2)，C(0,1,2). ＝(0,0,2)，·＝(1,1,0)，＝(0,2,2)，
设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，则　
即
令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．
故点D到平面ACE的距离
d＝＝＝.]
5．B　[

以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有
D1(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．因O为A1C1的中点，所以O(，，1)，＝(，－，0)，＝(－1,0,1)，＝(0,1,0)．
设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
则有即
取x＝1，则n＝(1,0,1)
∴O到平面ABC1D1的距离为
d＝＝＝.]
6．D　[

如图所示，直线AB1与底面ABCD所成的角为∠B1AB，而A1C1到底面ABCD的距离为AA1，
在Rt△ABB1中，B1B＝AB·tan 60°＝.所以AA1＝BB1＝.]
7. cm
8.
解析　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，

∴可取n＝，又＝(－7，－7,7)．
∴点D到平面ABC的距离d＝＝.
9.
解析　

如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则平面ACD1的一个法向量为(1,1,1)，∵M，A(1,0,0)，
∴＝(0,1，)，
∴点M到平面ACD1的距离为
d＝＝.
又綊，MN⊄平面ACD1.
故MN∥平面ACD1，
故MN到平面ACD1的距离也为.
10．解　

如图所示，以C为原点，CB、CD、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Cxyz.
由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)，
G(0,0,2)．
＝(0,2,0)，＝(4,2，－2)，＝(－2,2,0)．
设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则有即
令x＝1，则y＝1，z＝3，∴n＝(1,1,3)．
点B到平面EFG的距离为

11．解　

如图所示，CD∥EF，CD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴CD∥平面AEF.
在平面ADE内，过点D作DH⊥AE，垂足为H.
∵CD⊥AD，DC⊥DE，∴CD⊥平面AED.
又EF∥CD，∴EF⊥平面AED，∴EF⊥HD.
又DH⊥AE，∴DH⊥平面AEF，
∴HD的长就是CD到面AEF的距离．
又DC⊥AD，DC⊥ED，
∴∠ADE是两正方形所在面组成的二面角的平面角，
∴∠ADE＝120°.
在△DAE中，HD＝AD·sin 30°＝.
∴CD到平面AEF的距离为.
12．解　

如图所示，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系A-xyz.
设D(0，a,0)，
则B(，0,0)，C(，a,0)，
P(0,0，)，E(，0，)．
于是＝(，0， )， ＝(0，a,0)，
＝(，a，－)，
则·＝0，·＝0.
所以AE⊥平面PBC.
又由AD∥BC知AD∥平面PBC.故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为||＝.
13．解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)，
∵CM＝BN＝a(0<a<)，

且四边形ABCD、ABEF为正方形，
∴M(a,0,1－a)，
N(a，a,0)，
∴＝(0，a，a－1)，
∴||＝.
即MN的长为.
(2)由(1)知|MN|＝，
所以，当a＝时，|MN|＝.
即M、N分别移到AC、BF的中点时，|MN|的长最小，最小值为.

章末总结

学问点一　空间向量的计算
空间向量及其运算的学问与方法与平面对量及其运算类似，是平面对量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．
例1　沿着正四周体O－ABC的三条棱、、的方向有大小等于1、2和3的三个力f1，f2，f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值．

学问点二　证明平行、垂直关系
空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．
例2　

如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．
(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1；
(2)用向量法证明MN⊥面A1BD.

例3　

如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.
试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成的角为60°.

例4　正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.

学问点三　空间向量与空间角
求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出(或证出)所求空间角的平面角，费时费劲，难度很大．而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量．即可求解，体现了向量法极大的优越性．
例5　

如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.
（1）求cos〈，〉；
(2)求直线AD与平面ANM所成角的余弦值；
(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值．

学问点四　空间向量与空间距离
近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解．
例6　

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求二面角P—CD—B的大小；
(2)求证：平面MND⊥平面PCD；
(3)求点P到平面MND的距离．