【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第8章-第7节-空间向量及其运算(理).docx

第八章　第七节

一、选择题
1．已知空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则＝(　　)
A．a－b＋c B．－a＋b＋c
C．a＋b－c D．a＋b－c
[答案]　B
[解析]　明显＝－＝(＋)－.
2．空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
[答案]　B
[解析]　由题意得＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，∴＝－3，∴与共线，又与没有公共点，
∴AB∥CD．
3．已知＝(2,4,5)，＝(3，x，y)，若∥，则(　　)
A．x＝6，y＝15　　　　 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
[答案]　D
[解析]　∥⇔＝k，得2＝3k，∴k＝.
∴x＝6，y＝.
4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为(　　)
A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝1
[答案]　C
[解析]　如图，＝＋＝＋＝＋(＋)．

5．如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos<，>的值为(　　)

A．0 B．
C． D．
[答案]　A
[解析]　设＝a，＝b，＝c
由已知条件<a，b>＝<a，c>＝，且|b|＝|c|，
·＝a·(c－b)＝a·c－a·b
＝|a||c|－|a||b|＝0，
∴cos<，>＝0.
6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　D
[解析]　由于a，b，c三向量共面．
所以存在实数m，n使得c＝ma＋nb，
即有，解得m＝，n＝，λ＝.故选D．
二、填空题
7．(2021·西安模拟)在z轴上求一点A，使它到点B(1,1,2)的距离为3，则A的坐标是________．
[答案]　(0,0,6)或(0,0，－2)
[解析]　设A(0,0，a)，
则|AB|＝＝3，
即(a－2)2＝16.
∴a＝6或a＝－2.
∴A(0,0,6)或(0,0，－2)．
8．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______.
[答案]　2
[解析]　c－a＝(1,1,1)－(1,1，x)＝(0,0,1－x)．
∴(c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2－2x＝－2.
∴x＝2.
9．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝3，M为AC1与CA1的交点，则M点的坐标为________．

[答案]　(1，，1)
[解析]　由长方体的几何性质得，M为AC1的中点，
在所给的坐标系中，A(0,0,0)，C1(2,3,2)．
∴中点M的坐标为(1，，1)．
三、解答题
10．如图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.

(1)求AC1的长；
(2)求与夹角的余弦值．
[解析]　记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
<a，b>＝<b，c>＝<c，a>＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝.
(1)||2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴||＝.
(2)＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝，
·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
∴cos<，>＝＝.
∴与夹角的余弦值为.

一、选择题
1．在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b确定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zC．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　A
[解析]　①错，向量a，b所在的直线可能重合；②错，向量a，b可以平行移动到同一平面内；③错，如从三棱锥的一个顶点动身的三条棱所对应的三个向量；④错，a，b，c要求不共面．
2．(2022·广东高考)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)
A．(－1,1,0) B．(1，－1,0)
C．(0，－1,1) D．(－1,0,1)
[答案]　B
[解析]　本题考查空间向量所成的角公式，逐一验证：
A．cosθ＝＝－，则θ＝120°.
B．cosθ＝＝，∴θ＝60°.
C．cosθ＝＝－，θ＝120°.
D．cosθ＝＝－1，θ＝180°.选B．
留意两向量夹角公式
cosθ＝，同时留意夹角范围．
二、填空题
3．若A、B、C、D是空间中不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的外形是________．
[答案]　锐角三角形
[解析]　∵·＝0，·＝0，·＝0.
∴AB⊥AC，AC⊥AD，AB⊥AD．
∴BC2＋CD2＝AB2＋AC2＋AC2＋AD2>AB2＋AD2＝BD2，∴∠BCD为锐角．
同理∠BDC，∠CBD也为锐角．∴△BCD为锐角三角形．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面给出四个命题：
①|＋＋|2＝3||2；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°；
④此正方体体积为|··|.
则错误命题的序号是________(填出全部错误命题的序号)．
[答案]　③④
[解析]　∵|＋＋|＝||＝||，
∴①正确；
∵·(－)＝·，
由三垂线定理知⊥，∴②正确；
③AD1与A1B异面直线的夹角为60°，但与的夹角为120°，＝，留意方向．
④由于·＝0，正确的应是||·||·||.
三、解答题
5．如图所示，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AM的长为b，且AM和AB，AD的夹角都等于60°，N是CM的中点．
(1)以，，为基向量表示出向量，并求CM的长；
(2)求BN的长．
[解析]　(1)＝－
＝－(＋)＝－－，
||2＝(－－)2
＝2＋2＋2－2·－2·＋2·
＝b2＋a2＋a2－2bacos60°－2bacos60°＋2a2cos90°
＝2a2－2ab＋b2.
∴CM＝||＝.
(2)＝＋＝＋(－－)＝(－＋)，
∴||2＝(2＋2＋2－2·＋2·－2·)＝(2a2＋b2)
∴BN＝||＝.
6．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；
(3)求证：A1B⊥C1M.
[分析]　建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示出各向量，利用两向量的数量积的夹角公式及模长公式求解．
[解析]　如图所示，以C为原点建立空间直角坐标系C—xyz.
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．
∴||＝＝.
∴BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
·＝3，||＝，||＝.
∴cos〈，〉＝＝.
∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为.
(3)依题意得C1(0,0,2)，M(，，2)，
＝(－1,1，－2)，＝(，，0)．
∴·＝－＋＋0＝0.
∴⊥.∴A1B⊥C1M.