2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第9章-第3讲--直线与圆、圆与圆的位置关系.docx

第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题
1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　)．
A．4 B．3 C．2 D．1
解析　法一　(直接法)集合A表示圆，集合B表
示一条直线，又圆心(0,0)到直线x＋y＝1的距离
d＝＝＜1＝r，所以直线与圆相交，故选C.
法二　(数形结合法)画图可得，故选C.
答案　C
2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是 (　　)．
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析　由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
答案　C
3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是(　　)
A．a2＋2a＋2b－3＝0
B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2a＋2b＋5＝0
D．a2－2a－2b＋5＝0
解析 即两圆的公共弦必过(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心，
两圆相减得相交弦的方程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0，
将圆心坐标(－1，－1)代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0.
答案　C
4．若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条切线，则a＋b的最大值为 (　　)．
A．－3 B．－3 C．3 D．3
解析　易知圆C1的圆心为C1(－a,0)，半径为r1＝2；
圆C2的圆心为C2(0，b)，半径为r2＝1.
∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，
∴|C1C2|＝r1＋r2，即a2＋b2＝9.∵2≤，
∴a＋b≤3(当且仅当a＝b＝时取“＝”)，
∴a＋b的最大值为3.
答案　D
5．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 (　　)．
A. B.∪
C. D.∪
解析　C1：(x－1)2＋y2＝1，C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．
当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2明显只有两个交点；
当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m＝±，即直线处于两切线之间时满足题意，
则－<m<0或0<m<.
综上知－<m<0或0<m<.
答案　B
6．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是(　　)．

解析　如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.切点A在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.以切点A在第三象限为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圆圆弧的长为l1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧的长为l2＝2θ×1＝2θ，则l1＝l2，即小圆的两段圆弧与的长相等，故点M1与点M′重合．即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，故M，N的轨迹为相互垂直的线段．观看各选项知，只有选项A符合．故选A.
答案　A
二、填空题
7．直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．
解析　由题意得，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x－y＝0的距离d＝＝.
设截得的弦长为l，则由2＋()2＝22，得l＝2.
答案　2
8．设集合A＝(x，y)(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是________．
解析　∵A∩B≠∅，∴A≠∅，
∴m2≥.∴m≥或m≤0.明显B≠∅.
要使A∩B≠∅，只需圆(x－2)2＋y2＝m2(m≠0)与x＋y＝2m或x＋y＝2m＋1有交点，即≤|m|或≤|m|，∴≤m≤2＋.
又∵m≥或m≤0，∴≤m≤2＋.
当m＝0时，(2,0)不在0≤x＋y≤1内．
综上所述，满足条件的m的取值范围为.
答案　
9．从原点向圆x2＋y2－12y＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．
解析　(数形结合法)如图，圆x2＋y2－12y＋27＝0
可化为x2＋(y－6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3.
在Rt△OBC中可得：∠OCB＝，∴∠ACB＝，
∴所求劣弧长为2π.
答案　2 π
10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
解析　画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离d＜1，即0＜＜1，∴－13＜c＜13.
答案　(－13,13)
三、解答题
11．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
解　将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0化成标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－.
(2)过圆心C作CD⊥AB，则依据题意和圆的性质，
得
解得a＝－7或a＝－1.
故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
12．已知与圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直线l交x轴，y轴于A，B两点，|OA|＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)．
(1)求证：(a－2)(b－2)＝2；
(2)求线段AB中点的轨迹方程；
(3)求△AOB面积的最小值．
解 (1)证明：圆的标准方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，设直线方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，圆心到该直线的距离d＝＝1，
即a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝a2＋b2，即a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0，
即ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2.
(2)设AB中点M(x，y)，则a＝2x，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2，
得(x－1)(y－1)＝(x>1，y>1)．
(3)由(a－2)(b－2)＝2得ab＋2＝2(a＋b)≥4，
解得≥2＋(舍去≤2－)，
当且仅当a＝b时，ab取最小值6＋4，
所以△AOB面积的最小值是3＋2.
13．设直线l的方程为y＝kx＋b(其中k的值与b无关)，圆M的方程为x2＋y2－2x－4＝0.
(1)假如不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；
(2)b＝1时，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
解　圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝5，
∴圆心M的坐标为(1,0)，半径为r＝.
(1)∵不论k取何值，直线l总过点P(0，b)，
∴欲使l与圆M总有两个不同的交点，必需且只需点P在圆M的内部，即|MP|<，即1＋b2<5，
∴－2<b<2，即b的取值范围是(－2,2)．
(2)当l过圆心M时，|AB|的值最大，最大值为圆的直径长2.当l⊥MP时，此时|MP|最大，|AB|的值最小，|MP|2＝2＝＝1＋≤1＋＝2，当且仅当k＝1时取等号．最小值为2＝2＝2.
14．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
(1)若Q(1,0)，求切线QA，QB的方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
(3)若|AB|＝，求直线MQ的方程．
解　(1)设过点Q的圆M的切线方程为x＝my＋1，
则圆心M到切线的距离为1，
∴＝1，∴m＝－或0，
∴QA，QB的方程分别为3x＋4y－3＝0和x＝1.
(2)∵MA⊥AQ，∴S四边形MAQB＝|MA|·|QA|＝|QA|＝＝≥＝.
∴四边形QAMB面积的最小值为.
(3)设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，
∴|MP|＝ ＝.
在Rt△MBQ中，|MB|2＝|MP||MQ|，
即1＝|MQ|，∴|MQ|＝3，∴x2＋(y－2)2＝9.
设Q(x,0)，则x2＋22＝9，∴x＝±，∴Q(±，0)，
∴MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.