2021高中数学北师大版必修五导学案：《余弦定理》.docx

第2课时　余 弦 定 理

1.了解向量法证明余弦定理的推导过程.
2.把握余弦定理及其推论.
3.能够利用余弦定理及其推论解三角形.

如图,某隧道施工队为了开凿一条山地隧道,需要测算隧道通过这座山的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B、C的距离,其中AB=3km,AC=1 km,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC=150°,你能通过计算求出山脚的长度BC吗?

问题1:上述问题中,山脚BC长度的求解用的是余弦定理,余弦定理的内容是什么?
余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,这个定理是余弦定理,可以用式子表示为a2=　　　　　　　　　　　　　　　、b2=　　　　　　　　　　　　　　　　、c2=　　　　　　　　　　　　　　　　. 
问题2:余弦定理的推论:cos A=　　　　　　　　　　　;cos B=　　　　　　　　　　　;cos C=　　　　　　　　　　　. 
问题3:余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,也是解三角形的重要工具:
(1)在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用　　　　的观点,可以知三求一. 
(2)利用余弦定理可以完成三种情形的斜三角形,分别是:①已知　　　　　　　,解三角形;②已知　　　　　　　　　　,解三角形;③已知　　　　　　　　　　　　　,解三角形. 
问题4:△ABC的三边为a,b,c,对角分别为A,B,C,则:
(1)若　　　　　　　　　,则角C是直角; 
(2)若　　　　　　　　　,则角C是钝角; 
(3)若　　　　　　　　　,则角C是锐角. 

1.在△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶7,则△ABC的最大角为(　　).
A.100°　　　 B.135°　　　 C.120°　　　 D.150°
2.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若c=3,b=2a,C=π3,则边a等于(　　).
A.12 B.1 C.32 D.2

3.(1)以7,24,25为各边长的三角形是　　　　三角形; 
(2)以2,3,4为各边长的三角形是　　　　三角形; 
(3)以4,5,6为各边长的三角形是　　　　三角形. 
4.在△ABC中,已知a2=b2+bc+c2,求角A.

已知三角形的三边解三角形
在△ABC中,已知a∶b∶c=2∶6∶(3+1),求△ABC各角的度数.

已知两边及其中一边的对角解三角形
在△ABC中,a=33,b=3,B=30°,解这个三角形.

利用余弦定理判定三角形外形
已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(4,-1),n=(cos2A2,cos 2A),且m·n=72.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=2a=23,试推断△ABC的外形.

在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶19.则该三角形的最大内角为　　　　. 

在△ABC中,a=3,b=1,B=30°,解这个三角形.

在钝角△ABC中,a=1,b=2,则最大边c的取值范围是　　　　. 

1.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4,则cos C等于(　　).
A.-23　　　 B.-14　　　 C.14　　　 D.23
2.在△ABC中,已知a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则角C等于(　　).
A.60° B.45°或135° C.120° D.30°
3.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2=b2+ac,则cos B=　　　　. 

4.已知在△ABC中,a=8,b=7,B=60°,求c.

(2021年·新课标全国卷)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于(　　).
A.10 B.9 C.8 D.5
考题变式(我来改编):

第2课时　余 弦 定 理
学问体系梳理
问题1:b2+c2-2bccos A　c2+a2-2accos B　a2+b2-2abcos C
问题2:b2+c2-a22bc　c2+a2-b22ac　a2+b2-c22ab
问题3:(1)方程　(2)三边　两边及其夹角　两边及其一边的对角
问题4:(1)a2+b2=c2　(2)a2+b2<c2　(3)a2+b2>c2
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1.C　设三边分别为3k,5k,7k,则角C为最大角,依据余弦定理:cos C=a2+b2-c22ab=(3k)2+(5k)2-(7k)22×3k×5k=-12,∴C=120°.
2.B　cos C=a2+b2-c22ab=5a2-34a2=12,解得a=1.
3.(1)直角　(2)钝角　(3)锐角　(1)72+242=252,∴三角形为直角三角形;
(2)22+32-42<0,∴三角形为钝角三角形;
(3)42+52-62>0,∴三角形为锐角三角形.
4.解:由已知得b2+c2-a2=-bc,
∴cos A=b2+c2-a22bc=-12,
又∵0<A<π,∴A=2π3.
重点难点探究
探究一:【解析】∵a∶b∶c=2∶6∶(3+1),
∴令a=2k,b=6k,c=(3+1)k(k>0),
由余弦定理有:cos A=b2+c2-a22bc=6+(3+1)2-426(3+1)=22,∴A=45°,
cos B=c2+a2-b22ac=4+(3+1)2-62×2×(3+1)=12,∴B=60°,
∴C=180°-45°-60°=75°.
【小结】已知三角形三边求角,可先用余弦定理求一个角,再用正弦定理(也可连续用余弦定理)求另一个角,进而求出第三个角.
探究二:【解析】依据余弦定理得:b2=c2+a2-2cacos B,
即c2-9c+18=0,解得:c=3或c=6.
当c=3时,cos A=b2+c2-a22bc=-12,
∴A=120°,故C=180°-120°-30°=30°;
当c=6时,cos A=b2+c2-a22bc=12,
∴A=60°,故C=180°-60°-30°=90°.
综上可知:A=60°,C=90°,c=6或A=120°,C=30°,c=3.
【小结】已知三角形的两边与一角求第三边,必需先推断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以应用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边).
探究三:【解析】(1)∵m=(4,-1),n=(cos2A2,cos 2A),
∴m·n=4cos2A2-cos 2A=4·1+cosA2-(2cos2A-1)=-2cos2A+2cos A+3.
又∵m·n=72,∴-2cos2A+2cos A+3=72,解得cos A=12.∵0<A<π,∴A=π3.
(2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,且a=3,
∴(3)2=b2+c2-2bc·12=b2+c2-bc.①
又∵b+c=23,与①共同解得bc=3,
∴b+c=23,bc=3,∴b=c=3,
于是a=b=c=3,
即△ABC为等边三角形.
【小结】依据已知条件中的边角关系推断三角形的外形时,主要有如下两种方法:
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而推断三角形的外形;
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而推断出三角形的外形,此时要留意应用A+B+C=π这个结论.
思维拓展应用
应用一:2π3　在△ABC中,依据正弦定理及已知得a∶b∶c=2∶3∶19.设a=2x(x>0),则b=3x,c=19x.明显c>b>a,
∴C是最大角.∴cos C=a2+b2-c22ab=(2x)2+(3x)2-(19x)22×2x×3x=-12,∴C=2π3.
应用二:(法一)依据余弦定理得:
b2=c2+a2-2cacos B,即c2-3c+2=0,
解得:c=1或2.
当c=1时,C=B=30°,∴A=120°;
当c=2时,△ABC为直角三角形,C=90°,∴A=60°.
(法二)可由正弦定理bsinB=asinA得sin A=asinBb=32,∴A=60°或120°.
当A=60°时,C=90°,∴c=2;
当A=120°时,C=30°,∴c=1.
应用三:(5,3)　依据余弦定理得:cos C=a2+b2-c22ab=5-c24,
∵C为最大角,∴C为钝角,即cos C=5-c24∈(-1,0),
解得:5<c<3.
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1.B　由正弦定理得a∶b∶c=3∶2∶4,cos C=a2+b2-c22ab=-14.
2.B　∵a4+b4+c4=2c2(a2+b2),∴a4+b4+c4-2a2c2-2b2c2=0,即(a2+b2-c2)2=2a2b2,∴a2+b2-c22ab=±22,即cos C=±22,故C=45°或135°.
3.12　cos B=a2+c2-b22ac=ac2ac=12.
4.解:∵b2=c2+a2-2accos B,∴72=c2+82-2×8ccos 60°,∴c2-8c+15=0,故c=3或c=5.
全新视角拓展
D　依据题目条件23cos2A+cos 2A=0,得23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=125.又由于三角形为锐角三角形,所以cos A=15,由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A,即72=36+b2-125b,化简得5b2-12b-65=0,解得b=5,所以答案为D.