2020-2021学年高一下学期数学(人教版必修4)第二章章末综合检测.docx

(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)
1.＋－＋化简后等于(　　)
A．3　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B.原式＝(＋)＋(－)＝(－)＋(＋)＝0＝，故选B.
2．已知i＝(1，0)，j＝(0，1)，则与2i＋3j垂直的向量是(　　)
A．3i＋2j B．－2i＋3j
C．－3i＋2j D．2i－3j
解析：选C.2i＋3j＝(2，3)，C中－3i＋2j＝(－3，2)．由于2×(－3)＋3×2＝0，所以2i＋3j与－3i＋2j垂直．
3．下列说法正确的是(　　)
A．两个单位向量的数量积为1
B．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
C.＝－
D．若b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b
解析：选D.A中，两向量的夹角不确定，故A错；B中，若a⊥b，a⊥c，b与c反方向，则不成立，故B错；C中，应为＝－，故C错；D中，由于b⊥c，所以b·c＝0，所以(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝a·b，故D正确．
4．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析：选D.由于a＝(1，1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6，4x－2)，由于a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.
5．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是(　　)
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
解析：选B.由于|a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔a·b＝0，所以a⊥b，选B.
6．已知向量a＝(3，4)，b＝(－3，1)，a与b的夹角为θ，则tan θ等于(　　)
A. B．－
C．3 D．－3
解析：选D.由题意，得a·b＝3×(－3)＋4×1＝－5，|a|＝5，|b|＝，
则cos θ＝＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝＝，
∴tan θ＝＝－3.
7．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A．(2，) B．(2，－)
C．(3，2) D．(1，3)
解析：选A.设D(x，y)，
则＝(4，3)，＝(x，y－2)．又＝2，
故解得
8．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为(　　)
A．40 N B．10 N
C．20 N D. N
解析：选B.对于两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是10 N；当它们的夹角为120°时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10 N.
9．A，B，C，D为平面上四个互异点，且满足(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的外形是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：选B.∵(＋－2)·(－)
＝(－＋－)·(－)
＝(＋)·(－)＝2－2＝0，
∴||＝||，∴△ABC为等腰三角形．
10．在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同始终线上的等价条件为存在唯一的实数λ，使得＝λ＋(1－λ)成立，此时称实数λ为“向量关于和的终点共线分解系数”．若已知P1(3，1)，P2(－1，3)，且向量与向量a＝(1，1)垂直，则“向量关于和的终点共线分解系数”为(　　)
A．－3 B．3
C．1 D．－1
解析：选D.设＝(x，y)，则由⊥a知x＋y＝0，
于是＝(x，－x)，
设＝λ＋(1－λ)，
(x，－x)＝λ(3，1)＋(1－λ)(－1，3)，∴λ＝－1.
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．已知点A(－1，－5)，a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为________．
解析：设B(x，y)，(x＋1，y＋5)＝3(2，3)，
解得
答案：(5，4)
12．设e1，e2是两个不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝e1－2e2.若以a，b为基底表示向量e1＋2e2，即e1＋2e2＝λa＋μb，则λ＋μ＝________．
解析：由a＝3e1＋4e2，b＝e1－2e2，
得e1＝a＋b，e2＝a－b，
∴e1＋2e2＝a－b，即λ＋μ＝－＝.
答案：
13．向量a＝(1，2)，b＝(－1，m)，向量a，b在直线y＝x＋1上的投影相等，则向量b＝________．
解析：直线y＝x＋1的方向向量为c＝(1，1)，则可知＝，则a·c＝b·c，所以1＋2＝－1＋m，解得m＝4，所以b＝(－1，4)．
答案：(－1，4)
14. 如图所示，在正方形ABCD中，已知||＝2，若N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值是________．

解析：∵·＝||·||·cos∠BAN，||·cos∠BAN表示在方向上的投影．又||＝2，∴·的最大值是4.
答案：4
15．设向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，以a，b，a－b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为________．
解析：由题意可知该三角形为直角三角形，其内切圆半径恰好为1，它与半径为1的圆最多有4个交点．

答案：4
三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．
解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6.
∴|a＋b|＝＝＝.
(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10.
∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝.
17．已知向量a与b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝.
(1)当a∥b时，求(a－b)·(a＋2b)的值；
(2)当θ＝时，求|2a－b|＋(a＋b)·(a－b)的值；
(3)定义ab＝|a|2－a·b，若ab≥7，求θ的取值范围．
解：(1)∵a∥b，∴cos θ＝±1.
∴(a－b)·(a＋2b)＝|a|2＋a·b－2|b|2
＝－2＋2cos θ＝－2±2.
(2)∵|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝16－4×2××cos ＋3＝31，∴|2a－b|＝，
又(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝1，
∴|2a－b|＋(a＋b)·(a－b)＝＋1.
(3)∵ab＝|a|2－a·b＝4－×2×cos θ≥7，
∴cos θ≤－，
又θ∈[0，π]，∴θ∈[，π]．
18．在△OAB的边OA，OB上分别有一点P，Q，已知OP∶PA＝1∶2，OQ∶QB＝3∶2，连接AQ，BP，设它们交于点R，若＝a，＝b.
(1)用a与b表示；
(2)若|a|＝1，|b|＝2，a与b夹角为60°，过R作RH⊥AB交AB于点H，用a，b表示.
解：(1)＝＝a，＝b，
由A，R，Q三点共线，可设＝m.
故＝＋＝a＋m＝a＋m(－)
＝a＋m(b－a)＝(1－m)a＋mb.
同理，由B，R，P三点共线，可设＝n.
故＝＋＝b＋n(－)＝a＋(1－n)b.
由于a与b不共线，则有解得
∴＝a＋b.
(2)由A，H，B三点共线，可设＝λ，
则＝λa＋(1－λ)b，
＝－＝(λ－)a＋(－λ)b.
又⊥，∴·＝0.
∴[(λ－)a＋(－λ)b]·(b－a)＝0.
又∵a·b＝|a||b|cos 60°＝1，
∴λ＝，∴＝a＋b.
19．已知a＝(2＋sin x，1)，b＝(2，－2)，c＝(sin x－3，1)，d＝(1，k)(x∈R，k∈R)．
(1)若x∈[－，]，且a∥(b＋c)，求x的值；
(2)若函数f(x)＝a·b，求f(x)的最小值；
(3)是否存在实数k和x，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵b＋c＝(sin x－1，－1)，又a∥(b＋c)，
∴－(2＋sin x)＝sin x－1，即sin x＝－.
又x∈[－，]，∴x＝－.
(2)∵a＝(2＋sin x，1)，b＝(2，－2)，
∴f(x)＝a·b＝2(2＋sin x)－2＝2sin x＋2.
又x∈R，
∴当sin x＝－1时，f(x)有最小值，且最小值为0.
(3)a＋d＝(3＋sin x，1＋k)，b＋c＝(sin x－1，－1)，
若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，
即(3＋sin x)(sin x－1)－(1＋k)＝0，
∴k＝sin2x＋2sin x－4＝(sin x＋1)2－5.
由sin x∈[－1，1]，得sin x＋1∈[0，2]，
∴(sin x＋1)2∈[0，4]，
故k∈[－5，－1]．
∴存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．
20．在平面直角坐标系中，A(1，1)、B(2，3)、C(s，t)、P(x，y)，△ABC是等腰直角三角形，B为直角顶点．
(1)求点C(s，t)；
(2)设点C(s，t)是第一象限的点，若＝－m，m∈R，则m为何值时，点P在其次象限？
解：(1)由已知得⊥，∴·＝0.
∵＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，
＝(s，t)－(2，3)＝(s－2，t－3)，
∴(1，2)·(s－2，t－3)＝0，即s＋2t－8＝0.①
又||＝||，即＝，
即s2＋t2－4s－6t＋8＝0.②
将①代入②消去s，得t2－6t＋8＝0.解得t＝2或4，
相应的s＝4或0，所以点C为(0，4)或(4，2)．
(2)由题意取C(4，2)，∴＝(x－1，y－1)，
－m＝(1，2)－m(3，1)＝(1－3m，2－m)．
∵＝－m，
∴
∴
若点P在其次象限，则解得<m<3.
∴当<m<3时，点P在其次象限．