2021高考数学(文理通用)一轮课时作业34-空间几何体的表面积与体积.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(三十四)空间几何体的表面积与体积(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知某球的体积大小等于其表面积大小,则此球的半径是()A.3B.3C.4D.5【解析】选B.设球的半径为R,则43R3=4R2,所以R=3.2.(2021湖州模拟)轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是()A.12B.23C.13D.14【解析】选B.设圆柱的底面半径为r,则圆柱的侧面积S侧=2r2r=4r2,圆柱的全面积S全=2r2r+2r2=6r2,所以S侧S全=23.3.(2021山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,该四棱锥侧面积和体积分别是()A.45,8B.45,83C.4(5+1),83D.8,8【解析】选B.由题干图知,此棱锥高为2,底面正方形的边长为2,V=13222=83,侧面积需要计算侧面三角形的高h=22+12=5,S侧=41225=45.4.(2021湖南高考)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于()A.32B.1C.2+12D.2【解析】选D.依据条件得知正视图和侧视图一样,是正方体的一个对角面,故面积相等.5.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm,瓶里所装的水深为8cm,将一个钢球完全浸入水中,瓶中水的高度上升到8.5cm,则钢球的半径为()A.1 cmB.1.2 cmC.1.5 cmD.2 cm【解析】选C.由于V球=43R3=328.5-328=4.5,所以R=32=1.5(cm).【加固训练】圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好沉没最上面的球(如图),则球的半径是cm.【解析】设球半径为r,则由3V球+V水=V柱,可得343r3+r28=r26r,解得r=4.答案:46.(2022温州模拟)已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.8B.203C.173D.143【解析】选C.由三视图可知,该几何体如图,即一个正方体由一个平面截去了一个三棱台,所以其体积V=V正方体-VAEF-A1B1D1=23-13212+122+2=8-73=173.7.设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.3a2B.6a2C.12a2D.24a2【解析】选B.由于长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,则长方体的体对角线长为(2a)2+a2+a2=6a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线,所以2R=6a.所以S球=4R2=6a2.【加固训练】(2021广州模拟)设一个球的表面积为S1,它的内接正方体的表面积为S2,则S1S2的值等于()A.2B.6C.6D.2【解析】选D.设正方体的棱长为a,则球的半径为R=32a,所以S1S2=4R26a2=234a23a2=2.8.(力气挑战题)某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A.16B.13C.23D.12【思路点拨】由三视图画出相应的直观图,然后构造出关于a,b的关系式,利用基本不等式求最值.【解析】选D.由题意知,该几何体的直观图如图所示,且AC=6,BD=1,BC=b,AB=a.设CD=x,AD=y,则x2+y2=6,x2+1=b2,y2+1=a2,消去x2,y2得a2+b2=8(a+b)22,所以a+b4,当且仅当a=b=2时等号成立,此时x=3,y=3,所以V=1312133=12.【误区警示】解答本题常见的错误是忽视a+b取最大值这一条件.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2022宁波模拟)三棱柱的三视图(正视图和俯视图是正方形,侧视图是等腰直角三角形)如图所示,则这个三棱柱的全面积等于.【解析】由三视图可知:该三棱柱的外形如图,其S全=SABC+SA1B1C1+SAA1B1B+SAA1C1C+SBB1C1C=1222+1222+22+22+222=12+42.答案:12+4210.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使BD=a,则三棱锥D -ABC的体积为.【解析】设正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,沿AC折起后依题意得,当BD=a时,BEDE,所以DE平面ABC,于是三棱锥D -ABC的高为DE=22a,所以三棱锥D -ABC的体积V=1312a222a=212a3.答案:212a311.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.【解析】由三视图可知,此几何体的上面是圆锥,其底面半径为1,高是3,此几何体的下面是长方体,其长、宽、高分别是3,2,1,因此该几何体的体积V=321+13123=6+(m3).答案:(6+)12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为cm3.【解析】关键是求出四棱锥A -BB1D1D的高.连接AC交BD于O,在长方体中,由于AB=AD=3,所以BD=32且ACBD.又由于BB1底面ABCD,所以BB1AC.又DBBB1=B,所以AC平面BB1D1D,所以AO为四棱锥A -BB1D1D的高且AO=12BD=322.由于S矩形BB1D1D=BDBB1=322=62,所以VA -BB1D1D=13S矩形BB1D1DAO=1362322=6(cm3).答案:6三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6,高为4的等腰三角形,(1)求该几何体的体积V.(2)求该几何体侧面积S.【解析】由已知可得,该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD,如图所示.(1)V=13(86)4=64.(2)该四棱锥有两个侧面VAD,VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为h1=42+822=42,另两个侧面VAB,VCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高为h2=42+622=5,因此S=21285+12642=40+242.14.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A1B1=B1C1=2,A1B1C1=90,AA1=4,BB1=3,CC1=2,求:(1)该几何体的体积.(2)截面ABC的面积.【解析】(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C,交AA1,BB1分别于A2,B2.由直三棱柱性质及A1B1C1=90可知B2C平面ABB2A2,则V=12222+1312(1+2)22=6.(2)在ABC中,AB=22+(4-3)2=5,BC=22+(3-2)2=5,AC=(22)2+(4-2)2=23.则SABC=1223(5)2-(3)2=6.【一题多解】本题(1)问还可以用以下方法解答:延长B1B,C1C到B3,C3,使得B3B1=C3C1=AA1.则V=12224-1312(1+2)22=6.15.(力气挑战题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB1,点E在棱AB上移动,小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1,所爬的最短路程为22.(1)求AB的长度.(2)求该长方体外接球的表面积.【解析】(1)设AB=x,点A到点C1可能有两种途径,如图甲的最短路程为|AC1|=x2+4.如图乙的最短路程为|AC1|=(x+1)2+1=x2+2x+2,由于x1,所以x2+2x+2x2+2+2=x2+4,故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为x2+4.由题意得x2+4=22,解得x=2.即AB的长度为2.(2)设长方体外接球的半径为R,则(2R)2=12+12+22=6,所以R2=32,所以S表=4R2=6.即该长方体外接球的表面积为6.【加固训练】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1,这个几何体的体积为403.(1)求棱A1A的长.(2)求经过A1,C1,B,D四点的球的表面积.【解析】(1)设A1A=h,由于几何体ABCD-A1C1D1的体积为403,所以即S四边形ABCDh-13SA1B1C1h=403,即22h-131222h=403,解得h=4.所以A1A的长为4.(2)如图,连接D1B,设D1B的中点为O,连接OA1,OC1,OD.由于ABCD-A1B1C1D1是长方体,所以A1D1平面A1AB.由于A1B平面A1AB,所以A1D1A1B.所以OA1=12D1B.同理OD=OC1=12D1B.所以OA1=OD=OC1=OB.所以经过A1,C1,B,D四点的球的球心为点O.由于D1B2=A1D12+A1A2+AB2=22+42+22=24.所以S球=4(OD1)2=4D1B22=D1B2=24.故经过A1,C1,B,D四点的球的表面积为24.关闭Word文档返回原板块