东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：随机数与几何概型A.docx

随机数与几何概型(教案)A
一、 学问梳理：(必修3教材135-142页)
1、 几何概型的概念:
假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度(面积或体积)成比例,则称这种概率模型为几何概率模型,简称 .
2、 几何概型的特点
（1）无限性：即在一次试验中，基本大事中的个数可以是 ；
（2）等可能性：即每个基本大事发生的可能性 。
因此，用几何概型求解概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”。即随机大事A的概率可以用“大事A所包含的基本大事所占的图形面积（体积或长度）”
与“试验基本大事所占的图形面积（体积或长度）”之比来表示。
3、 几何概率的计算公式：
设几何概型的基本大事空间可以表示成度量的区域Ω,大事A所对的区域用A表示(A⊆Ω),则P(A)= .
4、 几何概型与古典概型的区分与联系
共同点： 。
不同点：基本大事的个数一个是无限的，一个是有有限 的，基本大事可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限 的，但是它们所占据的区域却是有限的，依据等或能性，这个点落在区域内的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和外形无关。
5、 均匀随机数
在确定范围内随机产生的数，其中 每一个数产生的机会 是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率。一般地，利用计算机可计算器的rand（ ）函数就可以产生0—1之间的均匀随机数。
6、a-b之间的均匀随机数产生：利用计算机可计算器的rand（x）函数就可以产生0-1之间的均匀随机数x=rand（ ），然后利用伸缩和平移变换x= rand（ ）*（b-a）+a，就可以产生[a，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a-b之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的。
6、均匀随机数的应用
（1） ；
（2）
二、题型探究
[探究一]与长度有关的几何概型
例1：（09山东11）在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率为 （ ）
A． B． C． D．
【解析】在区间[-1，1]上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.
[探究二]与面积（体积）有关的几何概型
例2： ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 （ ）
A． B． C． D．
【解析】长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为， 因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝， 取到的点到O的距离大于1的概率为 ，答案 B
0← S →10
例3：假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？
解：以两班车动身间隔 ( 0，10 ) 区间作为样本空间 S，乘客随机地到达，即在这个长度是 10 的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。
要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应当是图中 A 包含的样本点，
p=== 0.3 。
[探究三]：会面问题中的概率：
例4：两人商定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必需等迟到者40分钟方可离去，假如两人动身是各自独立的，在20：00到21：00之间各个时刻相见的可能性是相等的，求两人在商定的时间内相见的概率。

三、方法提升
1、随机数是均匀产生的，通过产生随机数可以替代大量的重复试验；
2、关于几何概型：
（1）我们是就平面的情形给出几何概型的，同样的方法明显也适用于直线或空间的情形，只需将“面积”相应地转变为“长度”、“体积”；
（2）几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，假如一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而全部基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决

四、反思感悟：

五、课时作业
一、选择题
1.如图所示，在一个边长分别为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分别为，，且高为b.现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　B. C. D.
解析：S梯形＝(＋)·b＝ab，S矩形＝ab.
∴P＝＝.答案：C
2.如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为 (　　)
A. B. C. D.
解析：当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′=，由圆的对称性及几何概型得P=答案：C
3．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为 (　　)
A. B. C. D.
解析：正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间，所以正方形的边长介于6 cm到9 cm之间．线段AB的长度为12 cm，则所求概率为＝.答案：C
4．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为 (　　)
A. B. C. D.
解析：设任取两点所表示的数分别为x，y，则0≤x≤1且0≤y≤1.
由题意知|x-y|＜，所以所求概率为P=
答案：C
5.如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估量出阴影部分的面积约为 (　　)
A. B. C. D.
解析：据题意知：＝＝，∴S阴＝.答案：A
6.如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为45°，向圆盘内投镖，假如某人每次都投入圆盘内，那么他投中阴影部分的概率为 (　　)
A. B. C. D.
解析：P＝＝.答案：A
二、填空题
7．已知平面区域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为________．
解析：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域(如图)，由图可知SU=18，SA=4，则点P落入区域A的概率为.
8．向面积为9的△ABC内任投一点P，那么△PBC的面积小于3的概率是__________．
解析：如图，由题意，△PBC的面积小于3，则点P应落在梯形BCED 内，
∵，∴S△ADE=4，∴S梯形BCED=5，∴P=.
9．《广告法》对插播广告的时间有确定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为，那么该台每小时约有________分钟的广告．
解析：60×(1－)＝6分钟．
三、解答题
10．(2010·皖南八校联考)设不等式组表示的区域为A，不等式组表示的区域为B.
(1)在区域A中任取一点(x，y)，求点(x，y)∈B的概率；
(2)若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x，y)在区域B中的概率．
解：(1)设集合A中的点(x，y)∈B为大事M，区域A的面积为S1＝36，区域B的面积为S2＝18，∴P(M)＝＝＝.
(2)设点(x，y)在集合B中为大事N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数的结果为36个，其中在集合B中的点有21个，故P(N)＝＝.
11．(2010·深圳模拟)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.
(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；
(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：
所表示的平面区域内的概率．
解：(1)记“复数z为纯虚数”为大事A.
∵组成复数z的全部状况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种状况毁灭的可能性相等，属于古典概型，其中大事A包含的基本大事共2个：i,2i，∴所求大事的概率为P(A)＝＝.
(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{(x，y)|内，属于几何概型．该平面区域的图形为下图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.
而所求大事构成的平面区域为{(x，y)|
其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)
又直线x+2y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，
∴三角形OAD的面积为S1=
∴所求大事的概率为P=
12．已知关于x的一次函数y＝mx＋n.
(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；
(2)实数m，n满足条件，求函数y＝mx＋n的图象经过一、二、三象限的概率．
解：(1)抽取的全部结果的基本大事有：
(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本大事，设使函数为增函数的大事为A，则A包含的基本大事有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本大事，所以，P(A)＝＝.
(2)m、n满足条件的区域如图所示：
要使函数的图象过一、二、三象限，则m＞0，n＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，
∴所求大事的概率为P=.

13、投镖玩耍中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块。试验是向板中投镖，大事A表示投中阴影部分为成功，考虑大事A发生的概率。
分析与解答：类似于引例1的解释，完全可以把此引例中的试验所对应的基本大事组与大的正方形区域联系在一起，既大事组中的每一个基本大事与大正方形区域中的每一个点一一对应，则大事A所包含的基本大事就与阴影正方形中的点一一对应，这样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示大事A的概率是合理的。这一点我们完全可以用引例1的方法验证其正确性
解析：P（A）=（1/2）2/12=1/4。
15．（CB对讲机问题）（CB即CitizenBand市民波段的英文缩写）两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3:0O时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：0O时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？
解：设x和y分别代表莉莉和霍伊距某地的距离，
于是
则他俩全部可能的距离的数据构成有序点对(x,y),这里x，y都在它们各自的限制范围内，则全部这样的有序数对构成的集合即为基本大事组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置， 他们可以通过对讲机交谈的大事仅当他们之间的距离不超过25公里时发生（如右图）因此构成该大事的点由满足不等式

的数对组成，此不等式等价于
右图中的方形区域代表基本大事组，阴影部分代表所求大事，方形区域的面积为1200平方米公里，而大事的面积为
，
于是有。
16．(意大利馅饼问题)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板．边长为18厘米，挂于前门四周的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时．可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；假如击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，假如击中靶上的其他部分，则得不到谄饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将嬴得：
（a）一张大馅饼，
（b）一张中馅饼，
（c）一张小馅饼，
（d）没得到馅饼的概率
解析：我们试验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示。右图表明R和子区域r1、r2、r3和r,它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的大事
；
；
；
。
17．（1）在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观看,求发觉大肠杆菌的概率。
解析：由于取水样的随机性,所求大事的概率等于水样的体积与总体积之比，即2/400=0.005。
（2）假如在一个5万平方公里的海疆里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海领域里任凭选定一点钻探,问钻到石油的概率是多少?
解析：由于选点的随机性,可以认为该海疆中各点被选中的可能性是一样的,因而所求概率自然认为等于贮油海疆的面积与整个海疆面积之比,即等于40/50000=0.0008。
18、在线段[0，1]上任意投三个点，问由0至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个大事中哪一个大事的概率大。
解析：设0到三点的三线段长分别为x,y,z，即相应的 z
右端点坐标为x,y,z，明显。这三条线 1 C
段构成三角形的充要条件是： A D
。
在线段[0，1]上任意投三点x,y,z。与立方体
0 1 y
，，中的点 1
一一对应，可见所求“构成三角形”的概率，等价于x B
边长为1的立方体T中均匀地掷点，而点落在
0yx
yx
a

x
区域中的概率；这也就是落在图中由ΔADC，ΔADB，ΔBDC，ΔAOC，ΔAOB，ΔBOC所围成的区域G中的概率。由于 ，，由此得，能与不能构成三角形两大事的概率一样大。
19．随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率.
解析：半圆域如图设“原点与该点连线与轴夹角1y
y
1y
0.9
0.1
0y
A
S
y
小于”， 由几何概率的定义 。
20．（理科）随机地取两个正数和，这两个数中的每一个都不超过1，试求与之和不超过1，积不小于0.09的概率.
解析：，不等式确定平面域。
‘’则发生的充要条件为不
等式确定了的子域，故：
21. 曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A，直线x=1、直线y=1、x轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数
答案：如下表，由计算机产生两例0~1之间的随机数，它们分别表示随机点（x,y）的坐标。假如一个点（x,y）满足y≤-x2+1，就表示这个点落在区域A内，在下表中最终一列相应地就填上1，否则填0。
x
y
计数
0.598895
0.940794
0
0.512284
0.118961
1
0.496841
0.784417
0
0.112796
0.690634
1
0.359600
0.371441
1
0.101260
0.650512
1
…
…
…
0.947386
0.902127
0
0.117618
0.305673
1
0.516465
0.222907
1
0.596393
0.969695
0