2020-2021学年高中数学人教B版必修2双基限时练13(第一章).docx

双基限时练(十三)
基 础 强 化
1．过一条直线与一个平面垂直的平面的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．很多 D．1或很多
解析　当直线与平面垂直时，有很多个平面与已知平面垂直，当直线与平面不垂直时，只有一个过直线的平面与已知平面垂直．
答案　D
2．假如直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α且m⊥γ，那么必有(　　)
A．α⊥γ且m∥β B．α⊥γ且l⊥m
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
解析　∵m⊂α，m⊥γ，∴α⊥γ.
∵l＝β∩γ，∴l⊂γ，∴m⊥γ，∴m⊥l.
答案　B
3．下列命题中a，b，c表示直线，α、β、γ表示平面，正确的是(　　)
A．若a∥β，b∥β，则a∥b
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b
D．若a⊥α，a⊥b，b⊄α，则b∥α
解析　A、C选项中a与b的位置关系不确定，B选项中α与β的关系不确定，D选项正确．
答案　D
4．已知l、m、n是三条不同的直线，下列不正确的是(　　)
A．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β
B．若α⊥β，a⊂α，则a⊥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ
D．若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β
解析　B选项中a与β可能相交、平行或在β内．
答案　B
5．已知两直线m、n，两平面α、β，且m⊥α，n⊂β，下面有四个命题：
①若α∥β，则m⊥n；②若m⊥n，则α∥β；③若m∥n，则有α⊥β；④若α⊥β，则有m∥n.
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析　①③正确．
答案　C
6.

在正三棱锥P－ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，有下列四个论断：
①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE；④平面PDE⊥平面ABC.
其中正确的个数为(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析　①②正确．
答案　B
7．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，且一点P到这三个平面的距离分别为3,4,5，则OP的长为____________．
解析　OP可看作是以3,4,5为棱长的长方体的体对角线．
答案　5
8．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__________．
答案　①③④⇒②或②③④⇒①
能 力 提 升
9．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．
解析　由题意知n⊥α，而m⊥α，∴m∥n.
答案　平行
10.

如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，求证：平面AGC⊥平面BGC.
证明　∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC.
∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
∴BC⊥平面ABEF.
∵AG⊂平面ABEF，∴BC⊥AG.
∵AD＝2a，AF＝a，ABEF是矩形，G是EF中点，
∴AG＝BG＝a.
∵AB＝2a，AB2＝AG2＋BG2，∴AG⊥BG.
∵BG∩BC＝B，∴AG⊥平面BGC.
∵AG⊂平面AGC，∴平面AGC⊥平面BGC.
11.

如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，M，N分别为A1B，B1C1的中点．
(1)求证：BC∥平面MNB1；
(2)求证：平面A1CB⊥平面ACC1A1.
证明　(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
BC∥B1N，B1N⊂平面MNB1，BC⊄平面MNB1，
∴BC∥平面MNB1.
(2)∵C1C⊥平面ACB，而BC⊂平面ACB，
∴C1C⊥BC.
∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.
∵AC∩CC1＝C，AC，CC1⊂平面A1ACC1，
∴BC⊥平面ACC1A1，又BC⊂平面A1CB，
∴平面A1CB⊥平面ACC1A1.
12.

如图，A、B、C、D是空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动．

(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；
(2)当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD？请证明你的结论．
证明　(1)设AB中点为O，连接OC、OD，则OD⊥AB，
∵平面ADB⊥平面ABC，OD⊂平面ABD，平面ADB∩平面ABC＝AB，∴OD⊥平面ABC.
∵OC⊂平面ABC，∴OD⊥OC.
在等边三角形ABD中，AB＝2，∴OD＝.
在△ABC中，AC＝BC＝，AB＝2，∴OC＝1.
在Rt△COD中，CD＝＝2.
(2)当△ADB转动的过程中，总有OC⊥AB，OD⊥AB，
∴AB⊥平面COD，∴AB⊥CD.
当△ADB转动到与△ABC共面时，仍有AB⊥CD，
故△ADB转动过程中，总有AB⊥CD.
品 味 高 考
13.

如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
求证：(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.

解　(1)∵AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，
∴F是SB的中点．
又∵E是SA的中点，所以EF∥AB.
∴EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.
又EF∩EG＝E，
∴平面EFG∥平面ABC.
(2)∵平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，
又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，
∴AF⊥平面SBC，
∵BC⊂平面SBC，
∴AF⊥BC.
又∵AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，
∴BC⊥平面SAB.
∵SA⊂平面SAB，
∴BC⊥SA.