2020-2021学年高中人教B版数学选修2-1课时作业：模块综合检测(A).docx

模块综合检测(A)
(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是(　　)
A．0　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
2．已知命题p：若x2＋y2＝0 (x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
4．已知a>0，则x0满足关于x的方程ax＝b的充要条件是(　　)
A．∃x∈R，ax2－bx≥ax－bx0
B．∃x∈R，ax2－bx≤ax－bx0
C．∀x∈R，ax2－bx≥ax－bx0
D．∀x∈R，ax2－bx≤ax－bx0
5．已知椭圆＋＝1 (a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．圆
C．双曲线的一支 D．线段
6．若向量a＝(1,0，z)与向量b＝(2,1,2)的夹角的余弦值为，则z等于(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．2
7.

如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′中M是AB的中点，则sin〈，〉的值为(　　)
A. B.
C. D.
8．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，假如x1＋x2＝6，那么|AB|等于(　　)
A．10 B．8 C．6 D．4
9．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)
A. B. C. D.
10．若A，B两点的坐标分别是A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos θ，2sin θ，1)，则||的取值范围是(　　)
A．[0,5] B．[1,5]
C．(1,5) D．[1,25]
11．设O为坐标原点，F1、F2是－＝1(a>0，b>0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±y＝0 D.x±y＝0
12．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答　案

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知p(x)：x2＋2x－m>0，假如p(1)是假命题，p(2)是真命题，那么实数m的取值范围是________．
14．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为______________．
15．若AB是过椭圆＋＝1 (a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与坐标轴不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝________.
16．正四棱锥P—ABCD中，高为1，底边长为2，E为BC中点，则异面直线PE与DB所成角为_______________________________________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知p：2x2－9x＋a<0，q：，
且綈q是綈p的必要条件，求实数a的取值范围．

18．(12分)设P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2是其焦点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．

19.（12）已知双曲线x2-y2＝2的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A、B两点，若动点M满足＝＋＋(其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程．

20．(12分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．
(1)求a的取值范围；
(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．

21.(12分)

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
证明：(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.

22．(12分)

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值．
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

模块综合检测(A)
1．B　[原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．]
2．B　[命题p为真，命题q为假，故p∨q真，綈q真．]
3．D　[双曲线－＝－1，即－＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．所以对椭圆＋＝1而言，a2＝16，c2＝12.∴b2＝4，因此方程为＋＝1.]
4．C　[由于a>0，令函数y＝ax2－bx＝a(x－)2－，此时函数对应的图象开口向上，当x＝时，取得最小值－，而x0满足关于x的方程ax＝b，那么x0＝，ymin＝ax－bx0＝－，那么对于任意的x∈R，
都有y＝ax2－bx≥－＝ax－bx0.]
5．A　[∵P为MF1中点，O为F1F2的中点，
∴|OP|＝|MF2|，又|MF1|＋|MF2|＝2a，
∴|PF1|＋|PO|＝|MF1|＋|MF2|＝a.
∴P的轨迹是以F1，O为焦点的椭圆．]
6．A　[设两个向量的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，解得z＝0.]
7．B　[以D为原点，建系，设棱长为1，
则＝(1,1,1)，C(0,1,0)，M，
＝，
故cos〈，〉＝
＝，则sin〈，〉＝.]
8．B　[由抛物线的定义，
得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]
9．D　[由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为
y＝－x，∴－2＝－×4，∴a＝2b，设b＝k，
则a＝2k，c＝k，∴e＝＝＝.]
10．B　[||＝
＝
＝.
由于－1≤cos(α－θ)≤1，
所以1≤13－12cos(α－θ)≤25，
所以||∈[1,5]．]
11．D[如图所示，∵O为F1F2的中点，∴＋＝2，
∴（＋)2＝(2)2.
即||2＋||2＋2||·||·cos 60°＝4||2.
又∵|PO|＝a，
∴||2＋||2＋||||＝28a2.①
又由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a，
∴(|PF1|－|PF2|)2＝4a2.
即|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2.②
由①－②得|PF1|·|PF2|＝8a2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝20a2.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos 60°＝，
∴8a2＝20a2－4c2.即c2＝3a2.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2.
即＝2，＝.
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.]
12．D　[

建立如图所示坐标系．设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则
A1(b,0,0)，A(b,0，c)，C1(0，a,0)，C(0，a，c)，B1(b，a,0)，D(0,0，c)，
N，M.
∵∠CMN＝90°，∴⊥，
∴·＝·
＝－b2＋c2＝0，
∴c＝b.
∴·＝(－b,0，－b)·
＝－b2＋b2＝0，
∴AD1⊥DM，即异面直线AD1与DM所成的角为90°.]
+13．[3,8)
解析　由于p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，
即m≥3.又由于p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，
即m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.
14.－＝1
解析　由双曲线－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x得＝，∴b＝a.
∵抛物线y2＝16x的焦点为F(4,0)，∴c＝4.
又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(a)2，
∴a2＝4，b2＝12.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
15．－
解析　设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(－x1，－y1)，
则kAM·kBM＝·＝
＝＝－.
16.
17．解　由，得，
即2<x<3.∴q：2<x<3.
设A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2<x<3}，
∵綈p⇒綈q，∴q⇒p，∴B⊆A.
即2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0.
设f(x)＝2x2－9x＋a，
要使2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0，
需，即.
∴a≤9.故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}．
18．解　如图所示，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，

则S△F1PF2＝mnsin ＝mn.
由椭圆的定义知
|PF1|＋|PF2|＝20，
即m＋n＝20.①
又由余弦定理，得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ＝|F1F2|2，
即m2＋n2－mn＝122.②
由①2－②，得mn＝.
∴S△F1PF2＝.
19．解　由条件知F1(-2，0)、F2（2,0）,设A（x1，y1）、B（x2，y2)、M（x,y）则＝(x＋2，y)，＝(x1＋2，y1)，＝(x2＋2，y2)，＝(2,0)．
－*6]＝＝＋＋得
即
于是AB的中点坐标为.
当AB不与x轴垂直时，＝＝，
即y1－y2＝(x1－x2)．
由于A、B两点在双曲线上，
所以x－y＝2，x－y＝2，
两式相减得
(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，
即(x1－x2)(x－4)＝(y1－y2)y.
将y1－y2＝(x1－x2)代入上式，
化简得(x－6)2－y2＝4；
当AB与x轴垂直时，x1＝x2＝2，求得M(8,0)，也满足上述方程．
故点M的轨迹方程是(x－6)2－y2＝4.
20．解　(1)由消去y，
得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
依题意得即－<a<且a≠±.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，
∴x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.
∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0，
∴a＝±1，满足(1)所求的取值范围．
故a＝±1.
21．

证明　(1)以D为坐标原点，以DA、DC、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
连结AC，AC交BD于G.
连结EG.设DC＝a，
依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E，
∵底面ABCD是正方形，
∴G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，
且＝(a,0，－a)，＝.
∴＝2，即PA∥EG.
而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)．
又＝，故·＝0＋－＝0，
∴PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD.
22．解 [设正方体的棱长为1，如图所示，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.

(1)依题意，得B(1,0,0)，E(0,1，),A(0，0,0),D(0,1,0),所以 ＝(－1,1，)，＝(0,1,0)．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由于AD⊥平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量．设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，则
＝＝＝.
故直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.
(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.
证明如下：
依题意，得A1(0,0,1)，
＝(－1,0,1)，
＝(－1,1，)．
设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，
则由n·＝0，n·＝0，
得
所以x＝z，y＝z，取z＝2，得n＝(2,1,2)．
设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0≤t≤1)．
又B1（1，0，1），所以＝(t－1,1,0)．而B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE⇔＝(t－1,1,0)．而B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE⇔·n＝0⇔(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t－1)＋1＝0⇔t＝⇔F为棱C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.