【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第5章-第3节-平面向量的数量积.docx

第五章　第三节

一、选择题
1．(2021·广东揭阳一中期中)已知a＝(0,2)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是(　　)
A．(a－b)⊥(a＋b)　　 B．(a－b)⊥b
C．c∥b D．|a|＝|b|
[答案]　B
[解析]　明显a与b不共线，且|a|＝2，|b|＝，∴C、D错误；
又a－b＝(－1,1)，∵(a－b)·b＝0，∴(a－b)⊥b，故选B.
2．在△ABC中，“·<0”是“△ABC为钝角三角形”的(　　)
A．充分不必要条件　　 　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　当·<0时，A为钝角，△ABC确定是钝角三角形，而当△ABC是钝角三角形时，不愿定有·<0.因此“·<0”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．故选A.
3．(2021·天津六校联考)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2＝＋且||＝||，则向量在向量方向上的射影为(　　)
A. B．
C．－ D．－
[答案]　A
[解析]　由题意知，△ABC的边BC过圆心O，
∴∠BAC＝90°.||＝||＝1，∴在向量方向上的射影为||cos60°＝.
4．(文)(2021·沈阳铁路试验中学期中)若向量a，b的夹角为，且|a|＝2，|b|＝1，则a与a＋2b的夹角为(　　)
A. B．
C. D．
[答案]　A
[解析]　由条件知a·b＝1，∴a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝6，|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4＋4＝12，
∴cos〈a，a＋2b〉＝＝＝，
∴〈a，a＋2b〉＝.
(理)(2022·大连测试)已知向量|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝，则|a＋b|为(　　)
A．9 B．7
C．3 D．
[答案]　D
[解析]　依题意得|a＋b|＝
＝＝＝，选D.
5．(文)(2022·保定模拟)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，·＝1，则BC＝(　　)
A. B．
C．2 D．3
[答案]　D
[解析]　设BC＝x(x>0)，∵·＝1，
∴3x·cosC＝1，又cosC＝，
∴3x·＝1，∴x＝3.
(理)(2022·河北石家庄调研)已知点G是△ABC的重心，若∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是(　　)
A. B．
C. D．
[答案]　C
[解析]　在△ABC中，延长AG交BC于D，
∵点G是△ABC的重心，
∴AD是BC边上的中线，且AG＝AD.
∵·＝||||cos120°＝－2，∴||||＝4.
∵＝，2＝＋，
∴＝(＋)．
∴2＝[(＋)]2
＝(2＋2·＋2)
≥[2||||＋2×(－2)]＝，
∴2≥，∴||≥，
∴||的最小值是.
6．(文)(2021·重庆理，10)在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||<，则||的取值范围是(　　)
A．(0，] B．(，]
C．(，] D．(，]
[答案]　D
[解析]　由于⊥，所以以A为原点，分别以，所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．设B1(a,0)，B2(0，b)，O(x，y)，
则＝＋＝(a，b)，即P(a，b)．
由||＝||＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1.
所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0.
由||<，得(x－a)2＋(y－b)2<，
即0≤1－x2＋1－y2<.
所以<x2＋y2≤2，即<≤.
所以||的取值范围是(，]，故选D.
(理)(2021·辽宁理，9)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(　　)
A．b＝a3
B．b＝a3＋
C．(b－a3)(b－a3－)＝0
D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0
[答案]　C
[解析]　依题意，a≠0.由于△ABC是直角三角形，则O不行能为直角顶点，若∠A为直角，则有b＝a3；若∠B为直角，则有⊥，·＝(a，a3)·(a，a3－b)＝a2＋a3(a3－b)＝0，所以b＝a3＋，选C.
二、填空题
7．(2021·湖南岳阳一中月考)平面对量a，b，e满足：|e|＝1，a·e＝1，b·e＝2，|a－b|＝2，则向量a－b与e的夹角为________．
[答案]　
[解析]　设a－b与e的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
8．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A、B、C三点共线，则k＝________.
[答案]　－
[解析]　∵A、B、C三点共线，∴与共线，
∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)，
∴－2(4－k)－(－7)·(－2k)＝0，∴k＝－.
9．已知M、N为平面区域内的两个动点，向量a＝(1,3)，则·a的最大值是________．
[答案]　40
[解析]　作出不等式组表示的平面区域如图，由于a＝(1,3)，直线AB：3x－y－6＝0，显见a是直线AB的一个方向向量，由于M、N是△ABC围成区域内的任意两个点，故当M、N分别为A、B点时，·a取最大值，求得A(0，－6)，B(4,6)，∴＝＝(4,12)，∴·a＝40.

三、解答题
10．(文)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1，0)．
(1)求向量b＋c的长度的最大值；
(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．
[分析]　(1)由向量坐标运算定义可求b＋c，由模的定义得到关于α的三角函数关系式，化为一个角的一个三角函数，即可求得最值，或依据向量模的三角不等式|a＋b|≤|a|＋|b|求解．
(2)∵α＝，∴a已知，由a⊥(b＋c)⇔a·(b＋c)＝0可得到关于cosβ的方程，解方程即可．
[解析]　(1)解法1：b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则
|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．
∵－1≤cosβ≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.
当cosβ＝－1时，有|b＋c|＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2.
解法2：∵|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2，
当cosβ＝－1时，有b＋c＝(－2,0)，即|b＋c|＝2.
所以向量b＋c的长度的最大值为2.
(2)解法1：由已知可得b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，
a·(b＋c)＝cosαcosβ＋sinαsinβ－cosα
＝cos(α－β)－cosα.
∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，
即cos(α－β)＝cosα.
由α＝，得cos(－β)＝cos，
即β－＝2kπ±(k∈Z)，∴β＝2kπ＋或β＝2kπ，k∈Z，于是cosβ＝0或cosβ＝1.
解法2：若α＝，则a＝(，)．
又由b＝(cosβ，sinβ)，
c＝(－1,0)得a·(b＋c)＝(，)·(cosβ－1，sinβ)＝cosβ＋sinβ－.
∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即cosβ＋sinβ＝1.
∴sinβ＝1－cosβ，平方后化简得cosβ(cosβ－1)＝0，
解得cosβ＝0或cosβ＝1.经检验，cosβ＝0或cosβ＝1即为所求．
(理)(2021·浙江联谊学校期中)已知a＝(cos，sin)，b＝(cos，－sin)，且θ∈[0，]．
(1)求的最值；
(2)是否存在k的值使|ka＋b|＝|a－kb|?
[解析]　(1)由已知得
a·b＝coscos－sinsin＝cos2θ，
∵θ∈[0，]，
∴|a＋b|＝＝＝2cosθ，
∴＝＝cosθ－，
令cosθ＝t，t∈[，1]，
∴cosθ－＝t－，(t－)′＝1＋>0，
∴y＝t－为增函数，其最大值为，最小值为－，
∴的最大值为，最小值为－.
(2)假设存在k的值满足题设条件，则|ka＋b|2＝3|a－kb|2.
∵|a|＝|b|＝1，a·b＝cos2θ，
∴cos2θ＝，
∵θ∈[0，]，∴－≤cos2θ≤1，
∴－≤≤1，
∴存在2－≤k≤2＋或k＝－1.

一、选择题
11．(2022·沈阳市二检)已知▱ABCD中，＝(2,8)，＝(－3,4)，对角线AC与BD相交于点M，则的坐标为(　　)
A．(－，－6) B．(－，6)
C．(，－6) D． (，6)
[答案]　B
[解析]　＝(＋)＝(－，6)，故选B.
12．(文)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a与b的夹角为60°，直线xcosα－ysinα＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．随α，β值的变化而变化
[答案]　B
[解析]　|a|＝1，|b|＝1，a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝cos(α－β)，
∵〈a，b〉＝60°，
∴cos60°＝，∴cos(α－β)＝，圆心(cosβ，－sinβ)到直线xcosα－ysinα＝0的距离
d＝＝|cos(α－β)|＝<，
∴直线与圆相交．
(理)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若＝，·＝48，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝16x D．y2＝4x
[答案]　B
[解析]　如图，△ABC为直角三角形，

由抛物线定义及条件知，|AC|＝|AF|＝|FB|＝|AB|，∴∠ABC＝，设|AC|＝t，则|AB|＝2t，∴|BC|＝t，
∴·＝||·||·cos∠ABC
＝2t·t·cos＝3t2＝48，
∴t＝4，∴p＝|DF|＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x，故选B.
13．(文)(2022·东北三省三校二模)已知△ABC中，||＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则||等于(　　)
A．6　　 B．5　　　　
C．4　　 D．3
[答案]　D
[解析]　∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，∴100＝AB2＋AC2＋32，∴AB2＋AC2＝68.2＝＋，∴4||2＝|＋|2＝2＋2＋2·＝68－32＝36，
∴||＝3.
(理)(2021·天津河东区一模)已知平面对量|p|＝2，|q|＝3，p、q的夹角为，如图，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||的长为(　　)

A. B．
C. D．
[答案]　B
[解析]　p·q＝|p|·|q|cos＝2×3×＝6.
||2＝(5p＋2q)2＝25p2＋20p·q＋4q2＝200＋120＋36＝356.
||2＝(p－3q)2＝p2－6p·q＋9q2＝8－36＋81＝53.
·＝(5p＋2q)·(p－3q)＝5p2－13p·q－6q2＝－92.
∵＝，
∴||2＝(2＋2·＋2)
＝(356－184＋53)＝，
∴||＝.
14．(文)(2022·甘肃省三诊)已知O是坐标原点，点A(－2,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是(　　)
A．[－1,0] B．[－1,2]
C．[0,1] D．[0,2]
[答案]　B
[解析]　·＝－2x＋y，画出不等式组，表示的平面区域如图所示．
当点M的坐标为(1,1)时，·取最小值－1，当点M的坐标为(0,2)时，·＝2，故选B.

(理)(2022·郑州市质检)如图所示，点A、B、C是圆O上的点，线段OC与线段AB交于圆内一点P, 若＝m＋2m，＝λ，则λ＝(　　)

A. B．
C. D．
[答案]　D
[解析]　∵＝－，＝－，又＝λ，
∴－＝λ－λ，
∴＝(1－λ)＋λ，∴1－λ＋λ＝1，设＝k；∵＝m＋2m，∴＝＋，∴＋＝1，∴k＝3m，∴＝＋，∴λ＝.
二、填空题
15．(2022·石家庄市质检)若向量a，b是两个相互垂直的单位向量，则向量a－b在向量b方向上的投影为________．
[答案]　－
[解析]　设a－b与b的夹角为θ，
∴cosθ＝，
∴a－b在b方向上的投影为
|a－b|cosθ＝＝＝－.
16．(2022·海南六校联考)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，点F在边CD上，若·＝3，则·＝________.
[答案]　－4
[解析]　建立如图所示的平面直角坐标系，

设F(x，)，∵＝(3,0)，＝(x，)，
∴·＝3x＝3，∴x＝1，
又∵＝2，∴E(3，)，
∴＝(3，)，＝(－2，)，
∴·＝－6＋2＝－4.
三、解答题
17．(文)设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量m＝(sinA＋sinC，sinB－sinA)，n＝(sinA－sinC，sinB)，且m⊥n.
(1)求角C的大小；
(2)若向量s＝(0，－1)，t＝，试求|s＋t|的取值范围．
[解析]　(1)由题意得m·n＝(sin2A－sin2C)＋(sin2B－sinAsinB)＝0，即sin2C＝sin2A＋sin2B－sinAsinB，由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，再由余弦定理得cosC＝＝.
由于0<C<π，所以C＝.
(2)由于s＋t＝＝(cosA，cosB)，
所以|s＋t|2＝cos2A＋cos2B＝cos2A＋cos2
＝＋＝cos2A－sin2A＋1
＝－sin＋1.
由于0<A<，所以－<2A－<，则
－<sin≤1，
所以－≤－sin(2A－)<，
所以≤|s＋t|2<，故≤|s＋t|<.
(理)(2021·甘肃嘉峪关市一中三模)已知△ABC的内角是A、B、C，a、b、c分别是其所对的边长，向量m＝(，cos(π－A)－1)，n＝(cos(－A)，1)，m⊥n.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，cosB＝，求b的长．
[解析]　(1)∵m⊥n，∴m·n＝cos(－A)＋cos(π－A)－1
＝sinA－cosA－1＝2sin(A－)－1＝0，
∴sin(A－)＝，∵0<A<π，∴－<A－<，∴A－＝，∴A＝.
(2)∵cosB＝，∴sinB＝，
由正弦定理＝，
∴＝，∴b＝.
18．(文)(2021·苏南四校月考)已知向量m＝(sinx，－1)，n＝(cosx,3)．
(1)当m∥n时，求的值；
(2)设函数f(x)＝(m＋n)·m，求f(x)的单调增区间；
(3)已知在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，c＝2asin(A＋B)，对于(2)中的函数f(x)，求f(B＋)的取值范围．
[解析]　(1)由m∥n，可得3sinx＝－cosx，
于是tanx＝－.
∴＝＝＝－.
(2)∵f(x)＝(m＋n)·m
＝(sinx＋cosx,2)·(sinx，－1)
＝sin2x＋sinxcosx－2
＝＋sin2x－2
＝sin(2x－)－，
∵2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴所求增区间为：[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(3)∵在△ABC中，A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sinC，
由正弦定理知：sinC＝2sinA·sinC，
∵sinC≠0，∴sinA＝，∴A＝.
又△ABC为锐角三角形，于是<B<，
∴f(B＋)＝sin[2(B＋)－]－＝sin2B－.
由<B<得<2B<π，
∴0<sin2B≤1，得－<sin2B－≤－.
即f(B＋)∈(－，－]．
(理)(2022·福建泉州质检)已知向量a＝(2,2)，向量b与向量a的夹角为，且a·b＝－2.
(1)求向量b；
(2)若t＝(1,0)且b⊥t，c＝(cosA,2cos2)，其中A，C是△ABC的内角，若三角形ABC的三内角A，B，C依次成等差数列，试求|b＋c|的取值范围．
[解析]　(1)设b＝(x，y)，则2x＋2y＝－2，①
且|b|＝＝1，∴＝1②
由①②解得或所以b＝(－1,0)或b＝(0，－1)．
(2)由于A，B，C依次成等差数列，所以B＝.
由于b⊥t，且t＝(1,0)，所以b＝(0，－1)．
所以b＋c＝(cosA,2cos2－1)＝(cosA，cosC)，
所以|b＋c|2＝cos2A＋cos2C＝1＋(cos2A＋cos2C)
＝1＋cos(A＋C)cos(A－C)＝1－cos(A－C)．
由于－<A－C<，所以－<cos(A－C)≤1，
∴<|b＋c|2<，所以≤|b＋c|<.