高中数学(北师大版)必修四教案：2.6-例题讲解：平面向量的线性运算.docx

平面对量的线性运算
例1 一辆汽车从点动身向西行驶了100公里到达点，然后又转变方向向西偏北走了200公里到达点，最终又转变方向，向东行驶了100公里到达点。
（1）作出向量，，；
（2）求。
分析：解答本题应首先确立指向标，然后再依据行驶方向确定出有关向量，进而求解。
解析：（1）如图所示。

（2）由题意易知，与方向相反，故与共线。
又，∴在四边形中，且，
∴四边形为平行四边形。
故（公里）。
评注：精确     画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后依据向量的大小确定向量的终点。

例2 化简：。
分析：该例为一基础题目，可有多种解法。
解法1：原式

=
评注：该解法是将向量减法转化为加法进行化简的。
解法2：原式
=+
=
=
评注：本解法是利用，进行化简的。
解法3：设为平面内任意一点，则有
原式

=
评注：本解法是利用关系进行化简的。

例3 对于下列各种状况，各向量的终点的集合分别是什么图形？
（1）把全部单位向量的起点平行移动到同一点；
（2）把平行于直线的全部单位向量的起点平行移动到直线的点；
（3）把平行于直线的全部向量的起点平行移动到直线的点。
分析：数学中的向量是自由向量，可以重新选择起点进行平移，只要平移前后两个向量相等即可。
解析：（1）是以点为圆心，以1个单位长为半径的圆；
（2）是直线上与的距离为1个单位长的两个点；
（3）是直线。
评注：本题是有关向量的平移变换、单位向量，以及集合等学问的综合题。

例4 已知非零向量和不共线，欲使和共线，试确定实数的值。
分析：若与共线，则肯定存在，使=（）。
解析：∵与共线，∴存在实数，使=（），则。
由于和不共线，∴，解得。
评注： 本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于的方程，用待定系数法解决问题。