新课标Ⅱ第四辑2022届高三上学期第四次月考-数学理-Word版含答案.docx

第四次月考数学理试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题60分）
留意事项：
1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案标号。在试题卷上作答无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、设集合，集合，则（ ）

2、已知为虚数单位，复数，则复数的虚部是（ ）
、 、 、 、

由资料可知y和x呈线性相关关系,由表中数据算出线性回归方程中的 据此估量,使用年限为10年时的修理费用是（ ）万元.
正视图
侧视图
俯视图
5
3
4
3

、 、

4、若某棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，
则该棱锥的体积等于（ ）
A、10 cm3 B、20 cm3
C、30 cm3 D、40 cm3

5、已知为异面直线，平面，平面,直线满足，则以下命题正确的个数是（ ）
（1）∥且∥ （2）且
（3）与相交，且交线垂直于 （4）与相交，且交线平行于
、个 、 个 、个 、个
6、若，则下列结论中不正确的是(　　)

7、已知满足时，的最大值为1，则的最小值为（ ）
、 、 、 、

8、如图所示，用模拟方法估量圆周率的程序框图，
表示估量结果，则图中空白框内应填入（ ）

A、 B、
C、 D、
9、在中，分别是角的对边，
若，则的值为( )
、 、 、 、
10、平行四边形中，·=0，沿折成直二面角，且
，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
、 、 、 、

11、已知椭圆: 和圆:,过椭圆上一点引圆的两条切线,切点分别为. 若椭圆上存在点,使得,则椭圆离心率的取值范围是（　　）
、 、 、 、
12、已知上的函数，其周期为，且时，
函数，则函数在区间上的零点的个
数为（ ）
、 、 、 、

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
留意事项：
本卷包括必考题和选考题两部分。第13—21题为必考题，每个试题考生都必需作答。第22—24题为选考题，考生依据要求作答。把答案填写在答题卡上相应位置，在试题卷上作答无效。
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、若开放式的各项系数确定值之和为1024，则开放式中项的系数为______．
14、设，若曲线与直线，所围成封闭图形的面积为，
则＝________.
15、从人中选人分别到四个教室打扫卫生，要求每个教室只有一人打扫，每人只打扫一个教室，且这人中甲、乙两人不去教室打扫，则不同的选择方案共有
16、已知数列,圆，
圆，若圆平分圆的周长，则的
全部项的和为
三、解答题：（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分12分）
已知数列的前项和,且的最大值为．
（Ⅰ）确定常数,求；
（Ⅱ）求数列的前项和
18、（本小题12分）

某校社会实践活动中，同学会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估量整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．

19、（本题满分12分）
如图，平面四边形的四个顶点都在球的表面上，为球的直径，为球面上一点，且平面，，点为的中点。
（1） 证明：平面平面；
（2） 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

20、已知椭圆的左右焦点分别为和,由个点、、和组成了一个高为,面积为的等腰梯形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线和椭圆交于两点,求面积的最大值.

21、已知函数.
(Ⅰ)若,求函数在区间上的最值;
(Ⅱ)若恒成立,求的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题记分.答时
用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22、（本小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】
如图，是的直径，弦、的延长线相交于点，垂直的延长线与点。
求证：（1）
（2）

23、（本小题满分10分）【选修4-4:坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程为（其中为常数）.
（1）若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围；
（2）当时，求曲线上的点与曲线上的点的最小距离

24、（本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】
设关于的不等式
(1)当时,解这个不等式;
(2)若不等式解集为,求的取值范围;

参考答案

3、由题意知，即回归直线过点,代入回归直线得,即回归直线方程为,所以当时,(万元)，选
4、该棱锥为四棱锥，底面是边长为5的正方形，高为，所以体积为20，选。
5、由于为异面直线，平面,平面，则平面与平面必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线，又直线满足，则交线平行于，所以选
6、由，得，，
因此正确，所以即不正确，选
7、由限制条件可知，当时，取到最大值，即，
，令，则，选
8、由已知可得，在之间，的概率为，则，即选
9、
由题可知，，所以，原式，选
10、将三棱锥放在长方体中，体对角线就是三棱锥的外接球的直径，即，
所以，即选
11、，，又为圆的切线，所以，
所以，四边形为正方形，即，即
所以，，选
15、分三类：（1）甲乙都不参与，则 （2）甲、乙有一个参与，则 （3）甲乙都参与，则，所以共有种。
16、圆与圆的公共弦为，由圆平分圆的周长可知，其公共弦过圆的圆心，则，的全部项的和为

三、解答题：
17（Ⅰ）且，
当时 。分

①当时，；分
②当时，；对时也成立。
分
（Ⅱ）由（Ⅰ）分
分
两式相减分
分

18、解：（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ；……………………………2分
（2）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为大事，则 ； …………………6分
另解：的可能取值为0，1，2，3.则，.
所以=．
19、(1) 证明：连接
为圆直径，且，
所以，
………2分
在中，分别是的中点，所以
…………3分
，…………4分
平面，平面…………5分
所以，平面平面…………6分
另解：向量法等其余解法，酌情给分。
(2) 以为原点，方向为轴，以平面内过点且垂直于方向为轴 以方向为轴，建立如图所示坐标系.
则，，，
，，…………8分
由，，
可求得平面PBC的法向量为
由，，
可求得平面PAD的法向量为
则，
因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为. …………12分
20、解:(1)由条件,得,…………1分
且, 所以…………2分
又,解得. …………4分
所以椭圆的方程 …………5分
（2）明显,直线的斜率不能为0,
设直线方程为,直线与椭圆交于.
联立方程 ,消去x 得, ,
由于直线过椭圆内的点,无论m为何值,直线和椭圆总相交.

=

令,设,易知时,函数单调递减, 函数单调递增 ，所以 当t==1即m=0时,
取最大值3 …………12分

21、解:(Ⅰ) 若,则.
当时,, ,
所以函数在上单调递增;
当时,,
. 所以函数在区间上单调递减,
所以在区间上有最小值,又由于, ,而, 所以在区间上有最大值 …（6分）
(Ⅱ) 函数的定义域为. 由,得. (*)
(ⅰ)当时,,, 不等式(*)恒成立,所以;
(ⅱ)当时, ①当时,由得,即,
现令, 则,

22、证明：（1）连接
由于为圆的直径，所以，
又，
则四点共圆，
所以， -------------分
（2）由（1）知,
又，所以，

即：
所以
-------------分
23、（1）曲线可化为
曲线可化为
若曲线，只有一个公共点，则当直线过时，满足要求，此时
并且向左下方平行运动直到过点之前总是保持只有一个公共点，
当直线过点时，此时
所以满足要求；
再接着从过点开头向左下方平行运动直线相切之前总有两个公共点，相切时照旧只有一个公共点，联立，得
，解得
综上可得的取值范围是或 （5分）
（2）当时，直线
设上的点为，
则曲线上的点到直线的距离为
当时取等号，满足，所以所求的最小距离为 （10分）

24、（1）
当
当不成立
当
所以，不等式的解集为 （5分）
（2）
即
所以，若原不等式解集为，则 （10分）