2022届-数学一轮(理科)-浙江专用-课时作业-第八章-解析几何-1-.docx

第八章 平面解析几何
第1讲　直线的方程

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则
(　　)

A．k1<k2<k3
B．k3<k1<k2
C．k3<k2<k1
D．k1<k3<k2
解析　直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D.
答案　D
2．(2021·太原质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为
(　　)
A. B．－ C．－ D.
解析　依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.
答案　B
3．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同始终角坐标系中的图象可以是
(　　)

答案　A
4．(2022·郑州模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是
(　　)
A.
B.∪
C．(－∞，1)∪
D．(－∞，－1)∪
解析　设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴上的截距为－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪.
答案　D
5．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足
(　　)
A．a＋b＝1 B．a－b＝1
C．a＋b＝0 D．a－b＝0
解析　由sin α＋cos α＝0，得＝－1，即tan α＝－1.
又由于tan α＝－，所以－＝－1.
即a＝b，故应选D.
答案　D
二、填空题
6．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．
解析　∵kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.
由于A，B，C三点共线，
所以a－3＝1，即a＝4.
答案　4
7．(2021·烟台模拟)直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.
解析　令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－，
则有－＝2，所以k＝－24.
答案　－24
8．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．
解析　设所求直线的方程为＋＝1.
∵A(－2,2)在此直线上，
∴－＋＝1.①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，
∴|a|·|b|＝1.②
由①②可得(1)或(2)
由(1)解得或方程组(2)无解．
故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，
即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．
答案　x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
三、解答题
9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；
(2)斜率为.
解　(1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是
y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
10．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过其次象限，求实数a的取值范围．
解　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，明显相等．∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，
得＝a－2，即a＋1＝1，
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
由题意得或∴a≤－1.
综上可知a的取值范围是(－∞，－1]．
力量提升题组
(建议用时：35分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．(2021·东阳三校调研)一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是
(　　)
A．m＞1，且n＜1 B．mn＜0
C．m＞0，且n＜0 D．m＜0，且n＜0
解析　由于y＝－x＋经过第一、三、四象限，故－＞0，＜0，即m＞0，n＜0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn＜0.
答案　B
12．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是
(　　)
A. B.
C. D.
解析　

如图，直线l：y＝kx－，过定点P(0，－)，又A(3,0)，∴kPA＝，则直线PA的倾斜角为，满足条件的直线l的倾斜角的范围是.
答案　B
13．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．
解析　直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值.
答案　
14．直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A，B两点．
(1)当|PA|·|PB|最小时，求l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．
解　依题意，l的斜率存在，且斜率为负．
设l：y－4＝k(x－1)(k<0)．
令y＝0，可得A；
令x＝0，可得B(0,4－k)．
(1)|PA|·|PB|＝ ·
＝－(1＋k2)＝－4≥8.(留意k<0)
∴当且仅当＝k且k<0即k＝－1时，
|PA|·|PB|取最小值．
这时l的方程为x＋y－5＝0.
(2)|OA|＋|OB|＝＋(4－k)＝5－≥9.
∴当且仅当k＝且k<0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．这时l的方程为2x＋y－6＝0.
15．已知O为平面直角坐标系的原点，过点M(－2,0)的直线l与圆x2＋y2＝1交于P，Q两点．
(1)若·＝－，求直线l的方程；
(2)若△OMP与△OPQ的面积相等，求直线l的斜率．
解　(1)依题意知直线l的斜率存在，∵直线l过点M(－2,0)，故可设直线l的方程为y＝k(x＋2)．
∵PQ两点在圆x2＋y2＝1上，∴||＝||＝1.
∵·＝－，即||·||cos∠POQ＝－.
∴∠POQ＝120°，∴点O到直线l的距离等于.
∴＝，解得k＝±.
∴直线l的方程为x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0.
(2)∵△OMP与△OPQ的面积相等，∴MP＝PQ，
即P为MQ的中点，∴＝2.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∴＝(x2＋2，y2)，＝(x1＋2，y1)，
∴
即(*)
∵P、Q两点在圆x2＋y2＝1上，
∴(**)
由(*)及(**)得
解得
故直线l的斜率k＝kMP＝±.
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