2020-2021学年人教版高中数学选修2-2第三章3.2.2知能演练轻松闯关.docx

1．(2021·杭州高二检测)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　)

A．E　　　　　　　　　　　 B．F
C．G D．H
解析：选D.z点对应的复数z＝3＋i，
＝＝
＝＝2－i.
故表示复数的点是H.
2．(2011·高考安徽卷)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(　　)
A．2 B．－2
C．－ D.
解析：选A.＝·＝，
∵为纯虚数，∴∴a＝2.
3．设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝，则M∩N为(　　)
A．(0,1) B．(0,1]
C．[0,1) D．[0,1]
解析：选C.由于M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}＝{y|y＝|cos 2x|，x∈R}＝{y|0≤y≤1}，N＝＝{x||x＋i|＜}＝{x|x2＜1}＝{x|－1＜x＜1}，所以M∩N＝[0,1)．所以选C.
4．(2022·高考山东卷)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为(　　)
A．3＋5i B．3－5i
C．－3＋5i D．－3－5i
解析：选A.由z(2－i)＝11＋7i得z＝＝＝＝3＋5i.
5．z＋z＋＝3，则z的对应点Z的几何图形是(　　)
A．圆 B．两个点
C．线段 D．直线
解析：选A.设z＝a＋bi，a，b∈R，z·＝a2＋b2.
z＋＝2a，∴a2＋b2＋2a＝3.(a＋1)2＋b2＝4，故选A.
6．(2022·高考湖北卷)若＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝________.
解析：＝＝[(3－b)＋(3＋b)i]
＝＋i，
∴解得∴a＋b＝3.
答案：3
7．若复数z满足|z|－＝，则z＝________.
解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，－a＋bi＝2＋4i.
∴
∴
答案：3＋4i
8．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z＝________.
解析：由定义知zi＋z＝4＋2i
∴z＝＝＝3－i.
答案：3－i
9．求值：＋2 014.
解：原式＝＋1 007
＝i＋i1 007＝i＋i3＝i－i＝0.
10．已知1＋i是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的一个根．(b，c为实数)①求b，c的值，②说明1－i也是该方程的一个根．
解：①∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即(b＋c)＋(b＋2)i＝0，
∴
∴.
②把1－i代入方程的左边(1－i)2－2(1－i)＋2＝1－2i＋i2－2＋2i＋2＝0，明显方程成立．
因此1－i是原方程的一个根．

1．已知a，b∈R，且2＋ai，b＋3i是一个实系数的一元二次方程的两个根，那么a，b的值分别是(　　)
A．a＝－3，b＝2
B．a＝3，b＝－2
C．a＝－3，b＝－2
D．a＝3，b＝2
解析：选A.2＋ai，b＋3i是实系数一元二次方程的根，那么这两个复数确定是互为共轭复数，故选A.
2．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则＝________.
解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.
由z＋＝4，z·＝8，得
⇒⇒
∴＝＝＝±i.
法二：z＋＝4，
设z＝2＋bi(b∈R)，又z·＝|z|2＝8，∴4＋b2＝8.
∴b2＝4.
∴b＝±2.
z＝2±2i，＝2∓2i，
∴＝±i.
答案：±i
3．已知为纯虚数，且(z＋1)(＋1)＝|z|2，求复数z.
解：由(z＋1)(＋1)＝|z|2⇒z＋＝－1.①
由为纯虚数，＋＝0⇒z·－1＝0.②
设z＝a＋bi，代入①②，得a＝－，a2＋b2＝1.
∴a＝－，b＝±.
∴z＝－±i.
4．设复数z满足4z＋2＝3＋i，ω＝sin θ－icos θ，求z的值和|z－ω|的取值范围．

解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入条件中得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，
即6a＋2bi＝3＋i，依据复数相等的充要条件有
⇒
∴z＝＋i，
|z－ω|＝|－(sin θ－icos θ)|
＝
＝　　
＝　　＝　　.
∵－1≤sin(θ－)≤1，∴0≤|z－ω|≤2.
故所求的z＝＋i，|z－ω|的取值范围是[0,2]．