2022届-数学一轮(文科)-浙江专用-课时作业-第八章-解析几何-探究课5-.docx
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探究课五 圆锥曲线问题中的热点题型 (建议用时:80分钟) 1.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; (2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值. 解 (1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=, 由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=+p=9, 所以p=4,从而抛物线方程为y2=8x. (2)由于p=4,4x2-5px+p2=0可简化为x2-5x+4=0, 从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4, 从而A(1,-2),B(4,4); 设C(x3,y3),则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)= (4λ+1,4λ-2), 又y=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1), 即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2. 2.已知定点A(1,0)和直线x=-1上的两个动点E,F,且⊥,动点P满足∥,∥(其中O为坐标原点). (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)过点B(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C相交于两个不同的点M,N,若·<0,求直线l的斜率的取值范围. 解 (1)设P(x,y),E(-1,yE),F(-1,yF). ∵·=(-2,yE)·(-2,yF)=yE·yF+4=0, ∴yE·yF=-4,① 又=(x+1,y-yE),=(1,-yF),且∥,∥,∴y-yE=0且x(-yF)-y=0, ∴yE=y,yF=-,代入①得y2=4x(x≠0), ∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≠0). (2)设l:y-2=kx(易知k存在),联立y2=4x消去x, 得ky2-4y+8=0,令M(x1,y1),N(x2,y2), 则y1+y2=,y1·y2=, ·=(x1-1,y1)·(x2-1,y2) =x1x2-(x1+x2)+1+y1y2 =-+1+y1y2 =2-+y1y2+1 =+1<0,∴-12<k<0, 则实数k的取值范围为(-12,0). 3.(2021·衢州模拟)抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点. (1)若=2,求直线AB的斜率; (2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值. 解 (1)依题意知F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1. 将直线AB的方程与抛物线的方程联立,消去x得 y2-4my-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=4m,y1y2=-4.① 由于=2,所以y1=-2y2.② 联立①和②,消去y1,y2,得m=±. 所以直线AB的斜率是±2. (2) 由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点, 从而点O与点C到直线AB的距离相等, 所以四边形OACB的面积等于2S△AOB. 由于2S△AOB=2×·|OF|·|y1-y2| ==4, 所以当m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值是4. 4.(2022·陕西卷)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为. (1)求a,b的值; (2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程. 解 (1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点. 设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2. ∴a=2,b=1. (2)由(1)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0). 易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入C1的方程,整理得 (k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 设点P的坐标为(xP,yP), ∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根. 由求根公式,得xP=,从而yP=, ∴点P的坐标为. 同理,由 得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k). ∴=(k,-4),=-k(1,k+2). ∵AP⊥AQ,∴·=0, 即[k-4(k+2)]=0, ∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-. 经检验,k=-符合题意, 故直线l的方程为y=-(x-1). 5.如图,已知点E(m,0)(m>0)为抛物线y2=4x内一个定点,过E作斜率分别为k1,k2的两条直线交抛物线于点A,B,C,D,且M,N分别是AB,CD的中点. (1)若m=1,k1k2=-1,求△EMN面积的最小值; (2)若k1+k2=1,求证:直线MN过定点. (1)解 当m=1时,E为抛物线y2=4x的焦点, ∵k1k2=-1,∴AB⊥CD. 设直线AB的方程为y=k1(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 由得k1y2-4y-4k1=0, y1+y2=,y1y2=-4.∵M, ∴M,同理,点N(2k+1,-2k1), ∴S△EMN=|EM|·|EN|=·=2≥2=4,当且仅当k=,即k1=±1时,△EMN的面积取得最小值4. (2)证明 设直线AB的方程为y=k1(x-m),A(x1,y1),B(x2,y2), 由得k1y2-4y-4k1m=0, y1+y2=,y1y2=-4m, ∵M,∴M, 同理,点N,∴kMN==k1k2. ∴直线MN的方程为 y-=k1k2,即y=k1k2(x-m)+2, ∴直线MN恒过定点(m,2). 6.(2022·浙江宁波高考模拟)如图,设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过准线l上一点M(-1,0)且斜率为k的直线l1交抛物线C于A,B两点,线段AB的中点为P,直线PF交抛物线C于D,E两点. (1)求抛物线C的方程; (2)若|MA|·|MB|=λ|FD|·|FE|,试写出λ关于k的函数解析式,并求实数λ的取值范围. 解 (1)-=-1,p=2,抛物线方程为y2=4x. (2)设l1方程为y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),由得ky2-4y+4k=0, Δ=16-16k2>0,所以k∈(-1,0)∪(0,1), y1+y2=,y1y2=4,得 x1+x2=-2,x1x2=1,P, 所以|MA|·|MB|=·=x1x2+x1+x2+1+y1y2=4,且直线PF方程为y=(x-1), 由得ky2-4(1-k2)y-4k=0, 则得y3+y4=,y3y4=-4, 得x3+x4=+2,x3x4=1, 所以|FD|·|FE|=(x3+1)(x4+1)=+4, 则λ=,令t=k2+1,则t∈(1,2), λ==, 而λ=f(t)==在(1,)上单调递增,在(,2)上单调递减,所以λ∈. 特殊提示:老师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.- 配套讲稿:
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