2020-2021学年人教A版高中数学必修5：第一章-解三角形-单元同步测试.docx

第一章测试
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的外形是(　　)
A．锐角三角形　 　 　　 B．直角三角形　 　 　　
C．钝角三角形　 　 　　 D．非钝角三角形
解析　最大边AC所对角为B，则cosB＝＝－<0，∴B为钝角．
答案　C
2．在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，那么A，B，C的大小关系为(　　)
A．A>B>C B．B>A>C
C．C>B>A D．C>A>B
解析　由正弦定理＝，∴sinB＝＝.
∵B为锐角，∴B＝60°，则C＝90°，故C>B>A.
答案　C
3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(　　)
A．4 B．4
C．4 D.
解析　由A＋B＋C＝180°，可求得A＝45°，由正弦定理，得b＝＝＝＝4.
答案　C
4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·的值为(　　)
A．5 B．－5
C．15 D．－15
解析　在△ABC中，由余弦定理得
cosB＝＝＝.
∴·＝||·||cosB＝5×7×＝5.
答案　A
5．若三角形三边长之比是1：：2，则其所对角之比是(　　)
A．1：2：3 B．1：：2
C．1：： D.：：2
解析　设三边长分别为a，a,2a，设最大角为A，则cosA＝＝0，∴A＝90°.
设最小角为B，则cosB＝＝，
∴B＝30°，∴C＝60°.
因此三角之比为1：2：3.
答案　A
6．在△ABC中，若a＝6，b＝9，A＝45°，则此三角形有(　　)
A．无解 B．一解
C．两解 D．解的个数不确定
解析　由＝，得sinB＝＝＝>1.
∴此三角形无解．
答案　A
7．已知△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB(其中a，b分别为A，B的对边)，那么角C的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析　依据正弦定理，原式可化为
2R＝(a－b)·，
∴a2－c2＝(a－b)b，∴a2＋b2－c2＝ab，
∴cosC＝＝，∴C＝45°.
答案　B
8．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为(　　)
A．1 B．2
C. D.
解析　由＝＝＝2R，
又sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，
可得a2＋b2－ab＝c2.
∴cosC＝＝，∴C＝60°，sinC＝.
∴S△ABC＝absinC＝.
答案　D
9．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　由余弦定理，得
cosA＝，解得AC＝3.
由正弦定理＝＝.
答案　D
10.在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为(　　)
A. B.
C. D.
解析　由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－，∴∠BAC＝.
答案　A
11．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长(　　)
A．0.5 km B．1 km
C．1.5 km D. km
解析　如图，AC＝AB·sin20°＝sin20°，
BC＝AB·cos20°＝cos20°，DC＝＝2cos210°，
∴DB＝DC－BC＝2cos210°－cos20°＝1.

答案　B
12．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且A＝75°，则b为(　　)
A．2 B．4＋2
C．4－2 D.－
解析　在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵a＝c，∴0＝b2－2bccosA＝b2－2b(＋)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝＝(－)，∴b2－2b(＋)cos75°＝b2－2b(＋)·(－)＝b2－2b＝0，解得b＝2，或b＝0(舍去)．故选A.
答案　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在△ABC中，A＝60°，C＝45°，b＝4，则此三角形的最小边是____________．
解析　由A＋B＋C＝180°，得B＝75°，∴c为最小边，由正弦定理，知c＝＝＝4(－1)．
答案　4(－1)
14．在△ABC中，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.
解析　由B＝A＋60°，得
sinB＝sin(A＋60°)＝sinA＋cosA.
又由b＝2a，知sinB＝2sinA.
∴2sinA＝sinA＋cosA.
即sinA＝cosA.
∵cosA≠0，∴tanA＝.
∵0°<A<180°，∴A＝30°.
答案　30°
15．在△ABC中，A＋C＝2B，BC＝5，且△ABC的面积为10，则B＝________，AB＝________.
解析　由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180°，得B＝60°.
又S＝AB·BC·sinB，
∴10 ＝AB×5×sin60°，∴AB＝8.
答案　60°　8
16．在△ABC中，已知(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)＝8：9：10，则sinA：sinB：sinC＝________.
解析　设可得a：b：c＝11：9：7.
∴sinA：sinB：sinC＝11：9：7.
答案　11：9：7
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在非等腰△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b(b＋c)．
(1)求证：A＝2B；
(2)若a＝b，试推断△ABC的外形．
解　(1)证明：在△ABC中，∵a2＝b·(b＋c)＝b2＋bc，由余弦定理，得cosB＝＝＝＝＝，
∴sinA＝2sinBcosB＝sin2B.
则A＝2B或A＋2B＝π.
若A＋2B＝π，又A＋B＋C＝π，∴B＝C.这与已知相冲突，故A＝2B.
(2)∵a＝b，由a2＝b(b＋c)，得3b2＝b2＋bc，∴c＝2b.
又a2＋b2＝4b2＝c2.
故△ABC为直角三角形．
18．(12分)锐角三角形ABC中，边a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，角A，B满足2sin(A＋B)－＝0.求：
(1)角C的度数；
(2)边c的长度及△ABC的面积．
解　(1)由2sin(A＋B)－＝0，得sin(A＋B)＝.
∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＝120°，∴∠C＝60°.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，
∴a＋b＝2，ab＝2.
∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝12－6＝6.
∴c＝.
S△ABC＝absinC＝×2×＝.

19．(12分)如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
解　(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12 ，由正弦定理，得AD＝＝＝24(nmile)．
(2)在△ADC中，由余弦定理，得
CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°.
解得CD＝8(nmile)．
∴A处与D处的距离为24 nmile，灯塔C与D处的距离为8 nmile.
20．(12分)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
解　(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB.
由正弦定得知，sinA＝，sinB＝(其中R为△ABC外接圆的半径)，代入上式，得a·＝b·，∴a＝b.故△ABC为等腰三角形．
(2)∵m⊥p，∴m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得
4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.
解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．
∴△ABC的面积S＝absinC＝×4×sin＝.
21．(12分)在△ABC中，已知内角A＝，边BC＝2，设内角B＝x，周长为y.
(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；
(2)求y的最大值．
解　(1)△ABC的内角和A＋B＋C＝π，由A＝，B>0，C>0，得0<B<.应用正弦定理，得
AC＝·sinB＝·sinx＝4sinx.
AB＝sinC＝4sin.
∵y＝AB＋BC＋CA，
∴y＝4sinx＋4sin＋2.
(2)y＝4(sinx＋cosx＋sinx)＋2
＝4sin(x＋)＋2.
∵<x＋<，
∴当x＋＝，即x＝时，y取得最大值6.
22．(12分)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝，sin(B－A)＝cosC.
(1)求A，C；
(2)若S△ABC＝3＋，求a，c.
解　(1)由于tanC＝，
即＝，
所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，
即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，得sin(C－A)＝sin(B－C)．
所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，
即2C＝A＋B，得C＝，所以B＋A＝.
又由于sin(B－A)＝cosC＝，
则B－A＝，或B－A＝(舍去)．
得A＝，B＝.
所以A＝，C＝.
(2)S△ABC＝acsinB＝ac＝3＋，
又＝，即＝.
得a＝2，c＝2.