2020-2021学年人教A版高中数学必修4双基限时练25.docx

双基限时练(二十五)
1．已知α，β都是锐角，下列不等式中不成立的是(　　)
A．sinα＋cosα>1
B．sinα－cosα<1
C．sin(α＋β)>sin(α－β)
D．cos(α＋β)>cos(α－β)
解析　令α＝β＝30°，则cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝1，故cos(α＋β)<cos(α－β)．因此选项D是不成立的．
答案　D
2．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　原式＝sin(65°－x)cos(x－20°)－cos(65°－x)·sin(20°－x)＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)·sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝.
答案　B
3.在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的外形肯定是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析　在△ABC中，C＝π－(A＋B)，
∴2cosBsinA＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB.
∴－sinAcosB＋cosAsinB＝0.
即sin(B－A)＝0.
又∵0<A<π，0<B<π，
∴A＝B，故选A.
答案　A
4．sin15°＋cos15°的值是(　　)
A. B.
C. D．－
解析　sin15°＋cos15°＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)
＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＋cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×－×＋×＋×＝.
答案　C
5．已知sinα＝，α∈，则sin的值等于(　　)
A. B.
C. D．－
解析　∵α∈，sinα＝，∴cosα＝，
sin＝×－×＝－.
答案　D
6.＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析　∵sin47°＝sin(17°＋30°)＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°，∴＝＝sin30°＝.
答案　C
7．在△ABC中，cosA＝，cosB＝，则cosC的值是____．
解析　∵在△ABC中，cosA＝，cosB＝，
∴sinA＝，sinB＝.
∴cosC＝cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)
＝－cosAcosB＋sinAsinB
＝－×＋×＝.
答案　
8．化简：cos＋sin＝________.
解析　原式＝coscosα－sinsinα＋sincosα＋cossinα＝cosα－sinα＋cosα＋sinα＝cosα.
答案　cosα
9.cos15°＋sin15°＝________.
答案　
10．函数f(x)＝sinx－cosx(x∈R)的最小正周期为________，最大值为________．
解析　f(x)＝2＝2sin.
∴最小正周期T＝2π，最大值为2.
答案　2π　2
11．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限的角，求sin的值．
解　sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα
＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα
＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝，
∴sinβ＝－.
又β是第三象限的角，
∴cosβ＝－.
∴sin＝sinβcos＋cosβsin
＝－×－×＝－.
12．若sin＝，cos＝，且0＜α＜＜β＜，求cos(α＋β)的值．
解　∵0＜α＜＜β＜，
∴＜＋α＜π，－＜－β＜0.
又已知sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－.
∴cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－
cossin
＝×－×
＝－.
13．求证：－2cos(α＋β)＝.
证明　sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ.
由待证式知sinα≠0，故两边同除以sinα得
－2cos(α＋β)＝.