江苏省2020—2021学年高三数学专题练习及答案-：直线与圆锥曲线(1).docx

直线与圆锥曲线（1）
1.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为
2. (浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝
3. （上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线有 条
4. （山东卷）设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为
5. (全国卷Ⅰ)已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为
6. (全国卷III)设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
7.（湖南卷）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为

8. （福建卷）已知定点A、B且|AB|=4，动点P满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是
9. （广东卷）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=
10.已知两点M(1，)、N(－4，－)，给出下列曲线方程：①4x+2y－1=0,
②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的全部曲线方程是_________.
11..正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y2=x上，则正方形ABCD的面积为_________.
12.在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.

13.已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p.
(1)求a的取值范围.

(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.

14.已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6).
(1)求双曲线方程.
(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论.

15.已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称.
(1)求双曲线C的方程.
(2)设直线l过点A，斜率为k,当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时B点的坐标.

16.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程.

直线与圆锥曲线(一)
1. 2. 3.两条 4.2 5 6. 7. 90º 8.
9. 10.解析：点P在线段MN的垂直平分线上，推断MN的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.
答案：②③④
11.解析：设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值，再代入求出|CD|的长.
答案：18或50
12.解析：设所求直线与y2=16x相交于点A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2).
即kAB=8.
故所求直线方程为y=8x－15.
答案：8x－y－15=0

13.解：(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0
∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2
又∵p＞0,∴a≤－.
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点 C(x,y),
由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,
则有x==p.
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）
点N到AB的距离为
从而S△NAB=
当a有最大值－时，S有最大值为p2.
14.解：(1)如图，设双曲线方程为=1.由已知得,解得a2=9,b2=12.

所以所求双曲线方程为=1.
(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），
∴其重心G的坐标为(2，2）
假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2).则有
，∴kl=
∴l的方程为y= (x－2)+2,
由,消去y,整理得x2－4x+28=0.
∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在.
15.解：(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d==1,解得k=±1.
即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0，).
∴a==b,所求双曲线C的方程为x2－y2=2.
(2)设直线l：y=k(x－)(0＜k＜1,依题意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的距离为.
设直线l′：y=kx+m,应有,化简得m2+2km=2. ②
把l′代入双曲线方程得(k2－1)x2+2mkx+m2－2=0,
由Δ=4m2k2－4(k2－1)(m2－2)=0.可得m2+2k2=2 ③
②、③两式相减得k=m,代入③得m2=,解设m=,k=,此时x=,y=.故B(2,).
16.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，
P(x1,y1),Q(x2,y2)
由 得(m+n)x2+2nx+n－1=0,
Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,
由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,
∴+1=0,∴m+n=2 ①
又22,
将m+n=2,代入得m·n= ②
由①、②式得m=,n=或m=,n=
故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1.