2020-2021学年高中数学人教B版必修2双基限时练12(第一章).docx
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双基限时练(十二) 基 础 强 化 1.已知直线l⊥平面α,直线m⊂α,则( ) A.l⊥m B.l可能和m平行 C.l与m相交 D.无法确定 解析 直线l⊥平面α,则l垂直于平面α内任意一条直线,∵m⊂α,故l⊥m. 答案 A 2.若两直线a与b异面,则过a且与b垂直的平面( ) A.有且只有一个 B.可能有一个,也可能不存在 C.有很多多个 D.肯定不存在 解析 当a与b垂直时,过a且与b垂直的平面有且只有1个;当a与b不垂直时,过a且与b垂直的平面不存在. 答案 B 3.已知空间两个不同的直线m、n和两个不同的平面α、β,则下列命题中正确的是( ) A.若m∥α,n⊂α,则m∥n B.若α∩β=m,m⊥n,则n⊥α C.若m∥α,n∥α,则m∥n D.若m∥α,m⊂β,α∩β=n,则m∥n 解析 A选项中m与n可能异面;B选项中n与α可能平行或在α内;C选项中m与n的位置关系不确定,故A、B、C均错误,D是线面平行的性质定理,D成立. 答案 D 4.在空间四边形ABCD中,若AB⊥CD,BC⊥AD,则对角线AC与BD的位置关系为( ) A.相交但不垂直 B.垂直但不相交 C.不相交也不垂直 D.无法推断 答案 B 5. 如图,PA⊥平面ABC,△ABC中,BC⊥AC,则图中直角三角形有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 解析 ∵PA⊥面ABC, ∴PA⊥AC,PA⊥BC,PA⊥AB. ∵BC⊥AC,AC∩PA=A, ∴BC⊥面PAC,∴BC⊥PC, ∴△PAC、△PAB、△ABC、△PBC均是直角三角形. 答案 A 6.在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,SA=4,AB=3,D为AB中点,且∠ABC=90°,则点D到平面SBC的距离为( ) A. B. C. D. 解析 如图,过A作AE⊥SB交SB于E, ∵SA⊥面ABC,∴SA⊥BC. ∵AB⊥BC,SA∩AB=A, ∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AE. ∵SB∩BC=B,∴AE⊥平面SBC. ∵D是AB中点,∴D到平面SBC的距离为AE. 在Rt△SAB中,SA=4,AB=3, ∴AE=, ∴D到平面SBC的距离为. 答案 C 能 力 提 升 7.如图所示,P、Q、R分别是正方体的棱AB、BB1、BC的中点,则BD1与平面PQR的位置关系是__________. 答案 垂直 8.如图所示,AB是⊙O的直径,PA⊥平面⊙O,C为圆周上一点,AB=5 cm,AC=2 cm,则B到平面PAC的距离为________. 解析 连接BC. ∵C为圆周上的一点,AB为直径, ∴BC⊥AC. 又∵PA⊥平面⊙O,BC⊂平面⊙O, ∴PA⊥BC. 又∵PA∩AC=A, ∴BC⊥平面PAC,C为垂足, ∴BC即为B到平面PAC的距离. 在Rt△ABC中, BC===(cm). 答案 cm 9.如图所示,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于________. 解析 ∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥QD, 又∵PQ⊥QD, ∴QD⊥平面PAQ. ∴AQ⊥QD,即Q在以AD为直径的圆上, 当圆与BC相切时,点Q只有一个, 故BC=2AB=2. 答案 2 10. 如图,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面ABCD,再过A作AE⊥SB于E,过E作EF⊥SC于F.求证:SC⊥平面AEF. 证明 ∵SA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴SA⊥BC. 又∵四边形ABCD是矩形,∴AB⊥BC. ∴BC⊥平面SAB. ∵AE⊂平面SAB,∴BC⊥AE. 又∵AE⊥SB,∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC. 又∵EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF. 11.如图为一简洁组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC. (1)求证:BE∥平面PDA; (2)若N为线段PB的中点,求证:EN⊥平面PDB. 证明 (1)∵EC∥PD,PD⊂平面PAD,EC⊄平面PDA, ∴EC∥平面 PDA,同理可得BC∥平面PDA. ∵EC⊂平面EBC,BC⊂平面EBC且EC∩BC=C, ∴平面EBC∥平面PDA. 又∵BE⊂平面EBC,∴BE∥平面PDA. (2)取BD中点M,连接MC,MN, ∵N是PB中点,∴MN∥PD,且MN=PD. ∵EC∥PD且PD=2EC,∴EC∥MN且EC=MN. ∴四边形MNEC是平行四边形, ∴NE∥MC. ∵M是BD中点,且四边形ABCD是正方形, ∴CM⊥BD. ∵PD⊥平面ABCD,且MC⊂平面ABCD, ∴PD⊥MC. ∵BD∩PD=D,∴MC⊥平面PDB, ∴NE⊥平面PDB. 12.如图所示,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB于点E,过E作EF⊥SC于点F. (1)求证:AF⊥SC; (2)若平面AEF交SD于点G,求证:AG⊥SD. 证明 (1)∵SA⊥平面AC, BC⊂平面AC,∴SA⊥BC. ∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC. ∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE. 又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC. 又EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF. ∴AF⊥SC. (2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC. 又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF,AG⊂平面AEF, ∴SC⊥AG.∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD. 品 味 高 考 13.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( ) A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l 解析 由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l,故选D. 答案 D- 配套讲稿:
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- 名师一号 名师 一号 2020 2021 年高 学人 必修 限时 12 第一章
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