【优教通-同步备课】高中数学(北师大版)必修五教案：1.1-用构造法求数列的通项公式.docx

用构造法求数列的通项公式
求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接依据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用。
例1:（06年福建高考题）数列 ( )
A． B． C． D．
解法1：

又

是首项为2公比为2的等比数列
,所以选C
解法2
归纳总结：若数列满足为常数），则令来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。
例2：数列中，，则 。
解：
为首项为2公比也为2的等比数列。
，（n>1）
n>1时

明显n=1时满足上式

小结：先构造等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式，
例3：已知数列中求这个数列的通项公式。
解：

又形成首项为7，公比为3的等比数列，
则………………………①
又，
，形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列
则………………………②
①②

小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。
例4：设数列的前项和为成立，(1)求证： 是等比数列。(2) 求这个数列的通项公式
证明：(1)当
又………………………①
………………………②
②—①

当时，有

又
为首项为1，公比为2的等比数列，
(2)
小结：本题构造格外特殊，
要留意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。[来源:Z+xx+k.Com]
例5：数列满足，则
A． B． C． D．
解：

构成了一个首项这，公差为3的等差数列，

所以选B。
小结：构造等比数列，留意形，当时，变为。
例6：已知函数，又数列中，其前项和为，对全部大于1的自然数都有，求数列的通项公式。
解：[来源:学科网ZXXK]

是首项为，公差为的等差数列。
。
时，
且当时， 符合条件[来源:学#科#网Z#X#X#K]
通项公式为
例7：（2006山东高考题）
已知，点（）在函数的图象上，其中求数列的通项公式。
解：
又在函数图象上

是首项为公比为2的等比数列

小结：前一个题构造出为等差数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式，后一个题构造为等比数列,再利用对数性质求解。数列与函数的综合运用是当今高考的重点与热点，因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关学问，以它的概念与性质为纽带，架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问题。
例8：(2007天津高考题)已知数列满足，（）其中，求数列的通项公式[来源:学|科|网Z|X|X|K]
方法指导：将已知条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式，从而为求的通项公式供应便利，一切问题可迎刃而解。
解：

。
所以
所以为等差数列，其首项为0，公差为1；

例9：数列中，若，，则
A． B． C． D．
解：
又是首项为公差3的等差数列。

所以选A
变式题型：数列中，，求
解：[来源:学|科|网]

是首项为公比为的等比数列

小结:且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列，发散之后，两种构造思想相互联系,相互渗透，最终融合到一起。
总之，构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式，是求通项公式的重要方法也是高考重点考查的思想，当然题是千变万化的，构造方式也会跟着千差万别,要具体问题具体分析，需要我们反复推敲归纳，从而确定其形式，应当说构造方法的形成是在探究中前进，在前进中探究。

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