2021高中数学北师大版选修2-2导学案：《函数的极值》.docx

第2课时　函数的极值

1.了解函数极值的概念,会从几何直观理解函数的极值与导数的关系,并会机敏应用.
2.把握函数极值的判定及求法.
3.应用极值解决求参数值、参数取值范围、推断方程的根的个数等问题.

若函数f(x)的定义域为区间(a,b),导数f'(x)在(a,b)内的图像如图所示,用极值的定义你能推断函数f(x)在(a,b)内的微小值点有几个吗?

问题1:推断函数y=f(x)的极值的一般方法
解方程f'(x)=0.当f'(x0)=0时:
(1)假如在x0四周的左侧f'(x0)>0,右侧f'(x0)<0,那么f(x0)是　　　　　; 
(2)假如在x0四周的左侧f'(x0)<0,右侧f'(x0)>0,那么f(x0)是　　　　　. 
问题2:用导数求函数极值的方法和步骤
假如y=f(x)在某个区间内有导数,则可以这样求它的极值.
第一步,求导数f'(x).
其次步,求方程　　　　的根x=x0. 
第三步,推断x=x0是不是函数的极值点,若是,则求f(x0)的值,即为　　　　,若不是,则　　　　. 
问题3:函数的极值有助于分析函数的最值与值域吗?与函数单调性的关系呢?
函数的极值有助于分析函数的最值或值域,其实质就是函数单调性的升华.

1.已知f'(x0)=0,则下列结论中正确的是(　　).
A.x0肯定是极值点
B.假如在x0四周的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值
C.假如在x0四周的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是微小值
D.假如在x0四周的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极大值
2.函数y=ax3+bx2取得极大值和微小值时的x的值分别为0和13,则(　　).
A.a-2b=0　　　　　　 B.2a-b=0 C.2a+b=0 D.a+2b=0
3.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则实数m=　　　　. 
4.若y=x3+kx在R上无极值,求k的取值范围.

函数的极值与导数的关系
求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值与极值点.

利用函数极值确定参数的值
已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,求常数a,b的值.

含有参数的函数极值的方法与争辩
已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点,求m的取值范围.

求函数f(x)=3x+3ln x的极值与极值点.

设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)推断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是微小值点,并说明理由.

设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根,求实数a的取值范围.

1.函数f(x)=x3-3x2-9x(-2<x<2)有(　　 ).
A.极大值5,微小值-27 B.极大值5,微小值-11
C.极大值5,无微小值 D.微小值-27,无极大值
2.函数y=x3-3bx+3b在(0,1)内有微小值,则b的取值范围是(　　).
A.0<b<1　 B.b<1 C.b<0或b>1 D.b>0
3.若函数y=f(x)是定义在R上的可导函数,则“f'(x0)=0”是“x0为函数y=f(x)的极值点”的　　　　条件. 
4.已知f(x)=x3+12mx2-2m2x-4(m为常数,且m>0)有极大值-52,求m的值.

　　(2022年·全国卷)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是(　　).
A.(2,+∞) B.(-∞,-2) C.(1,+∞) D.(-∞,-1)
　　考题变式(我来改编):

答案
第2课时　函数的极值
学问体系梳理
问题1:(1)极大值　(2)微小值
问题2:f'(x)=0　极值　无极值
基础学习沟通
1.B　直接依据极值概念推断,也可画出图像进行分析.
2.D　y'=3ax2+2bx,据题意,0、13是方程3ax2+2bx=0的两根,∴-2b3a=13,∴a+2b=0.
3.-19　y'=-3x2+12x,由y'=0,得x=0或x=4,简洁得出当x=4时函数取得极大值,所以-43+6×42+m=13,解得m=-19.
4.解:y'=3x2+k,∵y=x3+kx在R上无极值,
∴y'≥0恒成立,∴k∈[0,+∞).
重点难点探究
探究一:【解析】f'(x)=3x2-6x-9.
解方程3x2-6x-9=0,得x1=-1,x2=3.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化状况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
10
↘
-22
↗

　　由表可知:当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=10,x=-1是极大值点;当x=3时,f(x)有微小值f(3)=-22,x=3是微小值点.
【小结】求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数f(x)的定义区间,求导数f'(x);
(2)求方程f'(x)=0的根;
(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间,并列成表格.检测f'(x)在方程根左右两侧的值的符号,假如左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;假如左负右正,那么f(x)在这个根处取得微小值;假如左右不转变符号,那么f(x)在这个根处无极值.
　　探究二:【解析】由于f(x)在x=-1时有极值0,
且f'(x)=3x2+6ax+b,
所以f'(-1)=0,f(-1)=0,即3-6a+b=0,-1+3a-b+a2=0.
解得a=1,b=3,或a=2,b=9.
当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,
所以f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去.
当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).
当x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数;当x∈(-1,+∞)时,f(x)为增函数,
所以f(x)在x=-1时取得微小值,因此a=2,b=9.
【小结】(1)利用函数的极值确定参数的值,常依据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)由于“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件,所以利用待定系数法求解后,必需验证根的合理性.
　　探究三:【解析】(1)f'(x)=3x2-3a=3(x2-a).
当a<0时,对x∈R,有f'(x)>0,
∴当a<0时,函数f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,由f'(x)>0解得x<-a或x>a,
由f'(x)<0解得-a<x<a,
∴当a>0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-a),(a,+∞),f(x)的单调减区间为(-a,a).
(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,
∴f'(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1,f'(x)=3x2-3.
由f'(x)=0解得x1=-1,x2=1.
由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得微小值f(1)=-3.
∵直线y=m与函数y=f(x)的图像有三个不同的交点,
又f(-3)=-19<-3,f(3)=17>1,
结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(-3,1).
【小结】(1)求解不等式时,要对字母a进行争辩;
(2)将问题转化为求函数的极大值和微小值,再利用数形结合的思想方法,就可求出m的范围.
思维拓展应用
应用一:函数f(x)=3x+3ln x的定义域为(0,+∞),
f'(x)=-3x2+3x=3(x-1)x2.令f'(x)=0,得x=1.
当x变化时,f'(x)与f(x)的变化状况如下表:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
3
↗

　　因此当x=1时,f(x)有微小值f(1)=3,x=1是微小值点.
　　应用二:(1)∵f(x)=aln x+bx2+x,
∴f'(x)=ax+2bx+1.
由极值点的必要条件可知f'(1)=f'(2)=0,
∴a+2b+1=0,a2+4b+1=0,
解方程组,得a=-23,b=-16.
(2)由(1)可知f(x)=-23ln x-16x2+x.
f'(x)=-23x-1-13x+1=-(x-1)(x-2)3x.
当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,2)时,f'(x)>0;
当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,
所以x=1是函数f(x)的微小值点,
x=2是函数f(x)的极大值点.
　　应用三:(1)f'(x)=3x2-6,令f'(x)=0,
解得x1=-2,x2=2.
由于当x>2或x<-2时,f'(x)>0;
当-2<x<2时,f'(x)<0,
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-2)和(2,+∞),
单调递减区间为(-2,2).
当x=-2时,f(x)有极大值5+42;
当x=2时,f(x)有微小值5-42.
(2)由(1)的分析知y=f(x)的图像的大致外形及走向如图所示.

所以,当5-42<a<5+42时,
直线y=a与y=f(x)的图像有三个不同的交点,
即方程f(x)=a有三个不同的实根.
基础智能检测
1.C　令 f'(x)=3x2-6x-9=0得x=3或x=-1,函数在(-2,-1)上递增,在(-1,2)上递减,故极大值为 f(-1)=5,无微小值.
2.A　y'=3x2-3b,结合图像可知f'(0)<0,f'(1)>0,解得0<b<1.
3.必要不充分　f'(x0)=0不肯定能得出x0为极值点.如f(x)=x3,f'(0)=0,但0不是极值点,若x0为y=f(x)的极值点,肯定能得出f'(x0)=0.
4.解:f'(x)=3x2+mx-2m2=(x+m)(3x-2m),
令f'(x)=0,得x=-m或x=23m.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化状况如下表:
x
(-∞,-m)
-m
(-m,23m)
23m
(23m,-∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
微小值
↗

∴f(x)极大值=f(-m)=-m3+12m3+2m3-4=-52,
∴m=1.
全新视角拓展
B　当a=0时,明显不满足条件,故a≠0,
由f(x)=ax3-3x2+1可得f'(x)=3ax2-6x,
由f'(x)=0可得x=0或x=2a.
当a<0时,函数f(x)在(-∞,2a)上单调递减,在(2a,0)内单调递增,在(0,+∞)上单调递减,结合函数图像可知,只需函数的微小值f(2a)=-4a2+1>0,可得a<-2;
当a>0时,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,2a)内单调递减,在(2a,+∞)上单调递增,结合函数图像可知,不存在满足条件的实数a.
综上所述,a<-2.