2021高中数学北师大版必修四导学案:《向量的加法与减法》.docx
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1、第2课时向量的加法与减法1.理解向量加法的含义,把握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,会用向量加法的交换律与结合律进行向量运算.2.把握向量的减法运算,并理解其几何意义,会作两个向量的差向量.理解相反向量的概念及向量加法与减法的逆运算关系.3.经受向量的概念、法则的建构过程,通过观看、试验、类比、归纳等方法培育同学发觉问题、分析问题、解决问题的力量.向量的运算能反映出一些物理规律,从而加深学科之间的联系,提高应用力量.长江两岸之间没有大桥的地方,经常通过轮渡进行运输,一艘船从长江南岸动身,以大小为v1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度向东,且大小为v2(v1v2),那么船的实际速
2、度的大小和方向怎么求呢?问题1:相反向量及其性质,向量的加、减法运算.的运算,叫作向量的加法,两个向量的和是向量(简称);长度相同、方向相反的两个向量互为相反向量,a与互为相反向量,-(-a)=;零向量的相反向量是;任一向量与它的相反向量的和是,a+(-a)=;假如a、b互为相反向量,则a=,b=,a+b=;向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差,即a-b=a+ ,求两个向量差的运算叫作向量的.问题2:向量加法法则.(1)三角形法则如图,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,连接AC,则AC=a+b.这种求向量和的方法,叫向量加法的三角形法则,它的特点是首尾相连,即从第一个向量的起点指向最
3、终一个向量的终点的有向线段.(2)平行四边形法则如图,在平面内任取一点A,作AB=a,AD=b,以AB、AD为边作平行四边形ABCD,连接AC,则.这种求向量和的方法,叫向量加法的平行四边形法则.问题3:实数的加法满足交换律与结合律,向量的加法是否也满足?(1)交换律:a+b=;(2)结合律:(a+b)+c=a+=a+b+c.问题4:向量减法法则.若向量a与b有相同的起点,则a-b可以表示为从向量b的向量a的终点的向量.(1)三角形法则如图,作OA=a,OB=b,则BA=,即把两个向量的起点放在一起,这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的点为终点的向量.(2)平行四边形法则如图,作O
4、A=a,OB=b,以OA、OB为边作平行四边形OACB,连接BA,则BA=a-b.从图中可以看出,一个向量减去另一个向量,等于此向量加上另一个向量的相反向量.(3)留意问题:两个向量的差是一个向量,当两个向量不相等时,相减得到的向量的方向指向被减向量,当两个向量相等时,差为零向量,方向是任意的;向量减法的实质是加法的逆运算,依据相反向量的定义,AB=-BA,就可以把减法化为加法,用三角形法则作向量减法时,只要记住连接两向量终点,箭头指向被减向量即可;以向量AB=a,AD=b为邻边作平行四边形ABCD,则AC=,BD=.1.若向量a表示向东走1 km,向量b表示向南走1 km,则向量a+b表示(
5、).A.向东南走2 kmB.向东南走2 kmC.向东北走2 kmD.向东北走2 km2.化简PM-PN+MN的结果().A.MPB.NPC.0D.MN3.在矩形ABCD中,若|AB|=3,|BC|=4,则|AB+AD|=.4.如图,已知不共线的向量a,b,求作向量a+b,a-b.向量的加、减运算化简:(AB-CD)-(AC-BD).向量的三角形法则与平行四边形法则的运用已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点,若AB=a,BC=b,OD=c,证明:c+a-b=OB.与零向量有关的问题若向量满足关系式|a+b|=|a-b|,则下列结论中正确的是().A.以a,b为邻边的四边形是矩形B
6、.a,b中至少有一个零向量或abC.a,b中至少有一个零向量D.a,b均为零向量化简下列各式:AB+BC+CA;OA-OD+AD;AB+CA-BD-CD;MN+QP-MP+NQ.结果为零向量的序号是.如图,在平行四边形ABCD中,设AB=a,AD=b.(1)用a、b表示向量AC,DB.(2)当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直?(3)当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?(1)已知O是四边形ABCD内的一点,若OA+OB+OC+OD=0,则下列结论中正确的是().A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交
7、点C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点(2)若向量a,b满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最小值为,|a-b|的最大值为.1.在ABC中,BC=a,CA=b,则AB等于().A.a+bB.a-bC.-a-bD.b-a2.下面四个式子中不能化简到AD的是().A.MB-DA-BMB.NC-NA+CDC.(AD-BM)+(BC-MC)D.(AB-DC)+BC3.在ABC中,|AB|=|BC|=|CA|=1,则|AB-AC|的值为.4.化简(AB-CD)+(BE-DE).(2021年广东卷)
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