【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：4.8.docx

第四章 4.8第8课时一、选择题1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，之间的关系是()ABC90 D180答案B2如图，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，是可供测量的数据下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是()Ac和a Bc和bCc和 Db和答案D3已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得ABC120，则A、C两地的距离为()A10 km B. kmC10 km D10 km答案D解析AC10(km)4某人在山外一点测得山顶的仰角为42，沿水平面退后30米，又测得山顶的仰角为39，则山高为(sin420.6691，sin390.6293，sin30.0523)()A180米 B214米C242米 D266米答案C解析BCA42，BDA39，DBC3.在BDC中，DC30，BC.在RtABC中，ABBCsin42242.5在200 m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30，60，则塔高为()A. mB. m C. mD. m答案A解析在RtBAC中ABC30，AB200，BC，EBD30，EBC60，DBC30，BDC120，在BDC中，DC(m)6有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则斜坡长为_千米()A1 B2sin10C2cos10 Dcos20答案C解析由题意知DCBC1，BCD160，BD2DC2CB22DCCBcos16011211cos(18020)22cos204cos210，BD2cos10.二、填空题7(2010潍坊质检)已知A船在灯塔C北偏东80处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40处，A、B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为_km.答案1解析如图，由题意可得，ACB120，AC2，AB3.设BCx，则由余弦定理可得：AB2BC2AC22BCACcos120，即32x22222xcos120，整理得x22x5，解得x1.8如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米答案17500解析连接OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60，由余弦定理得：OC2100215022100150cos6017500.9某校运动会开幕式上进行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最终一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最终一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为50秒，升旗手应以_(米/秒)的速度匀速升旗答案0.6解析在BCD中，BDC45，CBD30，CD10，由正弦定理，得BC20；在RtABC中，ABBCsin602030(米)所以升旗速度v0.6(米/秒)三、解答题10如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75，距离为12n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为8n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离解析(1)在ABD中，ADB60，B45，由正弦定理得，即AD24(n mile)(2)在ACD中，AC8，CAD30，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcosCAD242(8)22248cos30192.即CD814(n mile)因此A处与D处的距离为24 n mile，灯塔C与D处的距离约为14 n mile.11.如图，港口B在港口O正东方120海里处，小岛C在港口O北偏东60方向、港口B北偏西30方向上一艘科学考察船从港口O动身，沿北偏东30的OA方向以20海里/时的速度驶离港口O.一艘快船从港口B动身，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时动身，补给物资的装船时间要1小时，问快艇驶离港口B后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？解析设快艇驶离港口B后，最少要经过x小时，在OA上点D处与考察船相遇，连结CD，则快艇沿线段BC、CD航行在OBC中，BOC30，CBO60，BCO90.又BO120，BC60，OC60.快艇从港口B到小岛C需要1小时在OCD中，COD30，OD20x，CD60(x2)由余弦定理，得CD2OD2OC22ODOCcosCOD.602(x2)2(20x)2(60)2220x60cos30.解得x3或x.x1，x3.答：快艇驶离港口B后最少要经过3小时才能和考察船相遇12.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船马上前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？答案救援船到达D点需要1小时解析由题意知AB5(3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105，在DAB中，由正弦定理得，DB10(海里)，又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC300120021020900，CD30(海里)，则需要的时间t1(小时)答：救援船到达D点需要1小时注：假如认定DBC为直角三角形，依据勾股定理正确求得CD，同样给分老师备选题1.(南京第一次调研)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向海上停靠着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75方向，与A相距3海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60方向，与B相距5海里的C处则两艘轮船之间的距离为_海里答案解析连接AC，ABBC，ABC60，AC5；在ACD中，AD3，AC5，DAC45，由余弦定理得CD.2甲船在A处观看乙船在它的北偏东60的B处，此时两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船以什么方式前进才能追赶上乙船？此时乙船行驶了多少海里？解析如图所示，AC为甲船的航行路线，BC为乙船的航行路线，设甲船取北偏东的方向去追赶乙船，在C点处追上，若乙船行驶的速度是v，则甲船行驶的速度是v，由于甲、乙两船到达C点的时间相等，都为t，则BCvt，ACvt.ABC120.由余弦定理可知AC2AB2BC22ABBCcos120，即3v2t2a2v2t2avt.所以2v2t2avta20.解得t1，t2(舍去)所以BCa，CAB30，30.即甲船应取北偏东30的方向去追赶乙船，此时乙船已行驶a海里3某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇动身时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇 (1)若期望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由解析(1)设相遇时小艇的航行距离为S海里，则S，故当t时，Smin10，v30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示由题意可得：(vt)2202(30t)222030tcos(9030)，化简得：v2900400()2675.由于00)，于是400u2600u900v20.(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程(*)应有两个不等正根，即：解得15u30.所以v的取值范围是(15，30)4.如图，某小区预备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花若BCa，ABC，设ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，将比值称为“规划合理度”(1)试用a，表示S1和S2.(2)当a为定值，15，求“规划合理度”的值解析(1)如题图，在RtABC中，ACasin，ABacos，S1a2sincosa2sin2，设正方形的边长为x，则BQxcot，RCxtan，xcotxxtana.x，S2()2()2.(2)15时，S1a2sin30a2，S2()2，