2021届高考数学(理科-全国通用)二轮专题配套word版练习:专题八-第3讲-分类讨论思想.docx
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第3讲 分类争辩思想 1.分类争辩思想是一种重要的数学思想方法.其基本思路是将一个较简洁的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度. 2.分类争辩的常见类型 (1)由数学概念引起的分类争辩.有的概念本身是分类的,如确定值、直线斜率、指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类争辩.有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不全都,如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等. (3)由数学运算要求引起的分类争辩.如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等. (4)由图形的不确定性引起的分类争辩.有的图形类型、位置需要分类:如角的终边所在的象限;点、线、面的位置关系等. (5)由参数的变化引起的分类争辩.某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法. (6)由实际意义引起的争辩.此类问题在应用题中,特殊是在解决排列、组合中的计数问题时常用. 3.分类争辩的原则 (1)不重不漏. (2)标准要统一,层次要分明. (3)能不分类的要尽量避开或尽量推迟,决不无原则地争辩. 4.解分类问题的步骤 (1)确定分类争辩的对象,即对哪个变量或参数进行分类争辩. (2)对所争辩的对象进行合理的分类. (3)逐类争辩,即对各类问题具体争辩,逐步解决. (4)归纳总结,将各类状况总结归纳. 热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类争辩 例1 (1)(2022·浙江)设函数f(x)=若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是________. (2)在等比数列{an}中,已知a3=,S3=,则a1=________. 答案 (1)a≤ (2)或6 解析 (1)f(x)的图象如图,由图象知,满足f(f(a))≤2时,得f(a)≥-2,而满足f(a)≥-2时,得a≤. (2)当q=1时,a1=a2=a3=, S3=3a1=,明显成立; 当q≠1时,由题意,得 所以 由①②,得=3,即2q2-q-1=0, 所以q=-或q=1(舍去). 当q=-时,a1==6.综上可知,a1=或a1=6. 思维升华 (1)由数学概念引起的争辩要正确理解概念的内涵与外延,合理进行分类;(2)运算引起的分类争辩有很多,如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数运算中真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等. (1)已知函数f(x)=满足f(a)=3,则f(a-5)的值为( ) A.log23 B. C. D.1 (2)已知数列{an}的前n项和Sn=pn-1(p是常数),则数列{an}是( ) A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上都不对 答案 (1)C (2)D 解析 (1)分两种状况分析,①或者②,①无解,由②得,a=7,所以f(a-5)=22-3+1=,故选C. (2)∵Sn=pn-1, ∴a1=p-1,an=Sn-Sn-1=(p-1)pn-1(n≥2), 当p≠1且p≠0时,{an}是等比数列; 当p=1时,{an}是等差数列; 当p=0时,a1=-1,an=0(n≥2),此时{an}既不是等差数列也不是等比数列. 热点二 由图形位置或外形引起的争辩 例2 (1)不等式组表示的平面区域内有________个整点(把横、纵坐标都是整数的点称为整点). (2)设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1,F2,若曲线T上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线T的离心率为________. 答案 (1)20 (2)或 解析 (1)画出不等式组表示的平面区域(如图). 结合图中的可行域可知 x∈[-,2],y∈[-2,5]. 由图形及不等式组,知 当x=-1时,1≤y≤2,有2个整点; 当x=0时,0≤y≤3,有4个整点; 当x=1时,-1≤y≤4,有6个整点; 当x=2时,-2≤y≤5,有8个整点; 所以平面区域内的整点共有2+4+6+8=20(个). (2)不妨设|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t,若该圆锥曲线为椭圆,则有|PF1|+|PF2|=6t=2a,|F1F2|=3t=2c,e====;若该圆锥曲线是双曲线,则有|PF1|-|PF2|=2t=2a, |F1F2|=3t=2c,e====. 所以圆锥曲线T的离心率为或. 思维升华 求解有关几何问题时,由于几何元素的外形、位置变化的不确定性,所以需要依据图形的特征进行分类争辩. 一般由图形的位置或外形变化引发的争辩包括:二次函数对称轴位置的变化;函数问题中区间的变化;函数图象外形的变化;直线由斜率引起的位置变化;圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的外形变化. (1)已知变量x,y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k等于( ) A.- B. C.0 D.-或0 (2)设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则的值为________. 答案 (1)D (2)2或 解析 (1)不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示,由图可知若不等式组表示的平面区域是直角三角形,只有直线y=kx+1与直线x=0垂直(如图①)或直线y=kx+1与直线y=2x垂直(如图②)时,平面区域才是直角三角形. 由图形可知斜率k的值为0或-. (2)若∠PF2F1=90°, 则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2, ∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2, 解得|PF1|=,|PF2|=,∴=. 若∠F2PF1=90°, 则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 =|PF1|2+(6-|PF1|)2, 解得|PF1|=4,|PF2|=2, ∴=2.综上所述,=2或. 热点三 由参数引起的分类争辩 例3 (2022·四川改编)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数的底数. 设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值. 解 由f(x)=ex-ax2-bx-1, 有g(x)=f′(x)=ex-2ax-b. 所以g′(x)=ex-2a. 因此,当x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a]. 当a≤时,g′(x)≥0, 所以g(x)在[0,1]上单调递增, 因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b; 当a≥时,g′(x)≤0,所以g(x)在[0,1]上单调递减, 因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b; 当<a<时,令g′(x)=0得x=ln(2a)∈(0,1), 所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增. 于是,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b. 综上所述,当a≤时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; 当<a<时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b; 当a≥时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b. 思维升华 一般地,遇到题目中含有参数的问题,经常结合参数的意义及对结果的影响进行分类争辩,此种题目为含参型,应全面分析参数变化引起结论的变化状况,参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想,分类要做到分类标准明确,不重不漏. 已知函数g(x)=(a∈R),f(x)=ln(x+1)+g(x). (1)若函数g(x)过点(1,1),求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程; (2)推断函数f(x)的单调性. 解 (1)由于函数g(x)过点(1,1),所以1=,解得a=2,所以f(x)=ln(x+1)+.由f′(x)=+=,则f′(0)=3,所以所求的切线的斜率为3.又f(0)=0,所以切点为(0,0),故所求的切线方程为y=3x. (2)由于f(x)=ln(x+1)+(x>-1), 所以f′(x)=+=. ①当a≥0时,由于x>-1,所以f′(x)>0, 故f(x)在(-1,+∞)上单调递增. ②当a<0时,由得-1<x<-1-a, 故f(x)在(-1,-1-a)上单调递减; 由得x>-1-a, 故f(x)在(-1-a,+∞)上单调递增. 综上,当a≥0时,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增; 当a<0时,函数f(x)在(-1,-1-a)上单调递减, 在(-1-a,+∞)上单调递增. 分类争辩思想的本质是“化整为零,积零为整”.用分类争辩的思维策略解数学问题的操作过程:明确争辩的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行争辩→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集,并集为全集).做到“确定对象的全体,明确分类的标准,分类不重复、不遗漏”的分析争辩. 常见的分类争辩问题有: (1)集合:留意集合中空集∅的争辩. (2)函数:对数函数或指数函数中的底数a,一般应分a>1和0<a<1的争辩;函数y=ax2+bx+c有时候分a=0和a≠0的争辩;对称轴位置的争辩;判别式的争辩. (3)数列:由Sn求an分n=1和n>1的争辩;等比数列中分公比q=1和q≠1的争辩. (4)三角函数:角的象限及函数值范围的争辩. (5)不等式:解不等式时含参数的争辩,基本不等式相等条件是否满足的争辩. (6)立体几何:点线面及图形位置关系的不确定性引起的争辩; (7)平面解析几何:直线点斜式中k分存在和不存在,直线截距式中分b=0和b≠0的争辩;轨迹方程中含参数时曲线类型及外形的争辩. (8)排列、组合、概率中的分类计数问题. (9)去确定值时的争辩及分段函数的争辩等. 真题感悟 1.(2022·课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC等于( ) A.5 B. C.2 D.1 答案 B 解析 ∵S△ABC=AB·BC·sin B=×1×sin B=, ∴sin B=,∴B=或. 当B=时,依据余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=1+2+2=5,所以AC=,此时△ABC为钝角三角形,符合题意; 当B=时,依据余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=1+2-2=1,所以AC=1,此时AB2+AC2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意.故AC=. 2.(2021·安徽)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 当a=0时,f(x)=|(ax-1)x|=|x|在区间(0,+∞)上单调递增; 当a<0时,结合函数f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0,+∞)上单调递增,如图(1)所示; 当a>0时,结合函数f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0,+∞)上先增后减再增,不符合条件,如图(2)所示. 所以,要使函数f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)上单调递增只需a≤0. 即“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的充要条件. 3.(2022·广东)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( ) A.60 B.90 C.120 D.130 答案 D 解析 在x1,x2,x3,x4,x5这五个数中,由于xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5,所以满足条件1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3的可能状况有“①一个1(或-1),四个0,有C×2种;②两个1(或-1),三个0,有C×2种;③一个-1,一个1,三个0,有A种;④两个1(或-1),一个-1(或1),两个0,有CC×2种;⑤三个1(或-1),两个0,有C×2种.故共有C×2+C×2+A+CC×2+C×2=130(种),故选D. 押题精练 1.已知函数f(x)=为R上的单调函数,则实数a的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.[-2,0) C.[-1,0) D.[-1,+∞) 答案 C 解析 若a=0,则f(x)在定义域的两个区间内都是常函数,不具备单调性;若a>0,函数f(x)在两段上都是单调递增的,要使函数在R上单调递增,只要(a+2)e0≤1,即a≤-1,与a>0冲突,此时无解.若-2<a<0,则函数在定义域的两段上都是单调递减的.要使函数在R上单调递减,只要a+2≥1即a≥-1,即-1≤a<0.当a≤-2时,函数f(x)不行能在R上单调.综上,a的取值范围是[-1,0). 2.等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值是( ) A.1 B.- C.1或- D.-1或 答案 C 解析 当公比q=1时,a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求. 当q≠1时,a1q2=7,=21,解之得,q=-或q=1(舍去).综上可知,q=1或-. 3.抛物线y2=4px (p>0)的焦点为F,P为其上的一点,O为坐标原点,若△OPF为等腰三角形,则这样的点P的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 答案 C 解析 当|PO|=|PF|时,点P在线段OF的中垂线上,此时,点P的位置有两个;当|OP|=|OF|时,点P的位置也有两个;对|FO|=|FP|的情形,点P不存在.事实上,F(p,0),若设P(x,y),则|FO|=p,|FP|=,若=p,则有x2-2px+y2=0,又∵y2=4px,∴x2+2px=0,解得x=0或x=-2p,当x=0时,不构成三角形.当x=-2p(p>0)时,与点P在抛物线上冲突.所以符合要求的点P一共有4个. 4.6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为( ) A.1或3 B.1或4 C.2或3 D.2或4 答案 D 解析 设6位同学分别用a,b,c,d,e,f表示. 若任意两位同学之间都进行交换共进行15次交换,现共进行了13次交换,说明有两次交换没有发生,此时可能有两种状况: (1)由3人构成的2次交换,如a-b和a-c之间的交换没有发生,则收到4份纪念品的有b,c两人. (2)由4人构成的2次交换,如a-b和c-e之间的交换没有发生,则收到4份纪念品的有a,b,c,e四人.故选D. 5.已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=(4-an)qn-1 (q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn. 解 (1)设数列{an}的公差为d, 由已知,得解得 故an=3-(n-1)=4-n. (2)由(1)可得bn=n·qn-1, 于是Sn=1·q0+2·q1+3·q2+…+n·qn-1. 若q≠1,将上式两边同乘q,得 qSn=1·q1+2·q2+…+(n-1)·qn-1+n·qn. 两式相减,得(q-1)Sn=nqn-1-q1-q2-…-qn-1 =nqn-=. 于是,Sn=. 若q=1,则Sn=1+2+3+…+n=. 综上,Sn= 6.已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1,试争辩函数f(x)的单调性. 解 由题意知f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=+2ax=. ①当a≥0时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当a≤-1时,f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减. ③当-1<a<0时,令f′(x)=0,解得x= , 则当x∈时,f′(x)>0; 当x∈时,f′(x)<0. 故f(x)在上单调递增, 在上单调递减. 综上,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a≤-1时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当-1<a<0时,f(x)在上单调递增, 在上单调递减.- 配套讲稿:
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