2021高考数学总复习专题系列——直线与圆锥曲线.板块一.直线与椭圆(2).学生版-Word版缺答案.docx

板块一.直线与椭圆(2)

1．椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程：
①，焦点是，，且．
②，焦点是，，且．
3．椭圆的几何性质（用标准方程争辩）：
⑴范围：， ；
⑵对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；
⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；
⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段．
⑸椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，，越趋近于，椭圆越扁；
反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆．

4．直线：与圆锥曲线：的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线：，圆锥曲线：，由
消去（或消去）得：．
若，，相交；相离；相切．
若，得到一个一次方程：①为双曲线，则与双曲线的渐近线平行；②为抛物线，则与抛物线的对称轴平行．
因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．
5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．
求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；
另外一种求法是假如直线的斜率为，被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为，则弦长公式为．
两根差公式：
假如满足一元二次方程：，
则（）．
6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：
①从方程的观点动身，利用根与系数的关系来进行争辩，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时留意在适当时利用图形的平面几何性质．
②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．

典例分析

【例1】 设椭圆过点，且左焦点为
⑴求椭圆的方程；
⑵当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．

【例2】 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
⑴求椭圆的方程；
⑵设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；
⑶在⑵的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．

【例3】 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
⑴求椭圆的标准方程；
⑵若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

【例4】 在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和．
⑴求轨迹的方程；
⑵当时，求与的关系，并证明直线过定点．

【例5】 在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是，直线与轨迹交于不同的两点和．
⑴求轨迹的方程；
⑵是否存在常数，？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【例6】 设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点．
⑴求椭圆的方程；
⑵是否存在直线，使得．若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
⑶若是椭圆经过原点的弦，，求证：为定值．

【例7】 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为的正方形．
⑴求椭圆的方程；
⑵若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点．
证明：为定值．
⑶在⑵的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线、的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【例8】 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线．
⑴求椭圆的离心率；
⑵设为椭圆上任意一点，且，证明为定值．

【例9】 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，经过点且离心率．过定点的直线与椭圆相交于，两点．
⑴求椭圆的方程；
⑵在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．