2020-2021学年高中数学(北师大版-必修一)课时作业-第四章1.1-函数应用.docx

第四章　函数应用
§1　函数与方程
1.1　利用函数性质判定方程解的存在

课时目标　1.能够结合二次函数的图像推断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.理解函数的零点与方程根的关系.3.把握函数零点的存在性的判定方法．

1．我们把函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的__________称为这个函数的零点．
2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．
3．方程f(x)＝0有实数根
⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________
⇔函数y＝f(x)有________．
4．函数零点的存在性的判定方法
假如函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)____0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．

一、选择题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数的零点个数是(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．无法确定
2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是(　　)
A．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)
A．0，－ B．0，
C．0,2 D．2，－
4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
5．函数零点的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3

6．已知函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图所示，则实数b的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2，＋∞)

题　号
1
2
3
4
5
6
答　案

二、填空题
7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有____个零点，这几个零点的和等于______．
8．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为________．
9．依据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为____________________________________________________________．

x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
三、解答题
10．证明：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．

11．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．

力气提升
12．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的 解的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．

1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)依据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此推断一个函数是否有零点，有几个零点，就是推断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．
(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像交点的横坐标．
2．并不是全部的函数都有零点，如函数y＝.
3．对于任意的一个函数，即使它的图像是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不愿定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但明显当它通过零点时函数值没有变号．

第四章　函数应用
§1　函数与方程
1．1　利用函数性质判定方程解的存在
学问梳理
1．横坐标　3.交点　零点　4.<
作业设计
1．C　[方程ax2＋bx＋c＝0中，
∵ac<0，∴a≠0，
∴Δ＝b2－4ac>0，
即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，
则对应函数的零点个数为2个．]
2．C　[对于选项A，可能存在根；
对于选项B，必存在但不愿定唯一；
选项D明显不成立．]
3．A　[∵a≠0,2a＋b＝0，
∴b≠0，＝－.
令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.]
4．C　[∵f(x)＝ex＋x－2，
f(0)＝e0－2＝－1<0，
f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，
∴f(0)·f(1)<0，
∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．]
5．C　[x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.
x>0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2<0，f(e3)＝1>0，
∵f(1)f(e3)<0
∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
总之，f(x)在R上有2个零点．]
6．A　[设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则由f(0)＝0可得d＝0，f(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝ax(x－1)(x－2)⇒b＝－3a，又由x∈(0,1)时，f(x)>0，可得a>0，∴b<0.]
7．3　0
解析　∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，
其和为－2＋0＋2＝0.
8．2
解析　该函数零点的个数就是函数y＝ln x与y＝x－2图像的交点个数．在同一坐标系中作出y＝ln x与y＝x－2的图像如下图：

由图像可知，两个函数图像有2个交点，
即函数f(x)＝ln x－x＋2有2个零点．
9．1
解析　设f(x)＝e2－(x＋2)，由题意知f(－1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k＝1.
10．证明　设f(x)＝x4－4x－2，其图像是连续曲线．
由于f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0.
所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
11．解　令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或，
即或，解得－<m<0.
12．C　[由已知得
∴f(x)＝
当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，
即x2＋3x＋2＝0，
∴x＝－1或x＝－2；
当x>0时，方程为x＝2，
∴方程f(x)＝x有3个解．]
13．解　设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.
∵方程f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
∴，即，
∴<k<.