(人教A版)数学必修1同步测试：第三章-函数的应用2.1-Word版含答案.docx

第三章　3.2　3.2.1
基础巩固
一、选择题
1．下列函数中，增长速度最慢的是(　　)
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
[答案]　B
2．以下四种说法中，正确的是(　　)
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xn＞logax
C．对任意的x＞0，ax＞logax
D．不愿定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax
[答案]　D
[解析]　对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B，C，当0＜a＜1时，明显不成立．当a＞1，n＞0时，确定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．
3．(2021·长沙高一检测)如图，能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围是(　　)

A．x＞0 B．x＞2
C．x＜2 D．0＜x＜2
[答案]　D
4．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化状况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1715
3645
6655
y2
5
29
245
2189
19685
177149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为(　　)
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
[答案]　C
[解析]　通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.
5．四个人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时间x(x＞1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，假如他们始终跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　)
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
[答案]　D
[解析]　明显四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.
6.在某种金属材料的耐高温试验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的状况由计算机记录后显示的图象如图所示，现给出下列说法：

①前5 min温度增加越来越快；②前5 min温度增加越来越慢；③5 min后温度保持匀速增加；④5 min后温度保持不变．
其中说法正确的是(　　)
A．①④ B．②④
C．②③ D．①③
[答案]　C
[解析]　前5 min，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加，所以②③正确，故选C.
二、填空题
7．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．
[答案]　甲
8．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人依据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：

①骑自行车者比骑摩托车者早动身3 h，晚到1 h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在动身1.5 h后追上了骑自行车者；
④骑摩托车者在动身1.5 h后与骑自行车者速度一样．
其中正确信息的序号是________．
[答案]　①②③
[解析]　看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．
三、解答题
9．(2021·沈阳高一检测)某种新栽树木5年成材，在此期间年生长率为20%，以后每年生长率为x%(x＜20)．树木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以连续让其生长，哪种方案更好？
[解析]　只需考虑10年的情形．设新树苗的木材量为Q，则连续生长10年后木材量为：Q(1＋20%)5(1＋x%)5,5年后再重栽的木才量为2Q(1＋20%)5，画出函数y＝(1＋x%)5与y＝2的图象，用二分法可求得方程(1＋x%)5＝2的近似根x＝14.87，故当x＜14.87时就考虑重栽，否则让它连续生长．
10．有甲、乙两个水桶，开头时水桶甲中有a升水，水桶乙中无水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y＝ae－nt，假设过5分钟时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲中的水只有.
[解析]　由题意得，ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝，设再过t分钟水桶甲中的水只有，得ae－n(t＋5)＝，
所以()＝(e－5n)＝e－n(t＋5)＝＝()3，
∴＝3，
∴t＝10.
∴再过10分钟水桶甲中的水只有.
力气提升
一、选择题
1．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　)

A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
[答案]　A
[解析]　由散点图可知，与指数函数似合的最贴切，故选A.
2．据报道，某淡水湖的湖水在50年内削减了10%，若按此规律，设2021年的湖水量为m，从2021年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为(　　)
A．y＝0.9 B．y＝(1－0.1)m
C．y＝0.9m D．y＝(1－0.150x)m
[答案]　C
[解析]　设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9，x年后的湖水量为y＝0.9m，故选C.
3．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则(　　)
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．无法推断
[答案]　A
[解析]　∵b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－)，∴b＝a×，∴b＜a，故选A.
4．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿ABCM运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是(　　)

[答案]　A
[解析]　依题意，当0＜x≤1时，S△APM＝×1×x＝x；
当1＜x≤2时，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM＝×(1＋)×1－×1×(x－1)－××(2－x)＝－x＋
二、填空题
5．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
[答案]　2ln2,1024
[解析]　∵当t＝0.5时，y＝2，∴2＝e，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2.当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.
6．在不考虑空气阻力的状况下，火箭(除燃料外)的质量m kg、火箭的最大速度v m/s和燃料的质量Mkg的函数关系是v＝2000ln(1＋)．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
[答案]　e6－1
[解析]　设M＝tm，则有2000ln(1＋t)＝12000，即ln(1＋t)＝6解得t＝e6－1.
三、解答题
7．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54,58.为了猜想以后各月的患 病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？
[解析]　依题意：
得
即解得
∴甲：y1＝x2－x＋52，
又
①－②，得p·q2－p·q1＝2　④
②－③，得p·q3－p·q2＝4　⑤
⑤÷④，得q＝2，
将q＝2代入④式，得p＝1，
将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，
∴乙：y2＝2x＋50，
计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；
当x＝5时，y1＝72，y2＝82；
当x＝6时，y1＝82，y2＝114.
可见，乙选择的模型较好．
8.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，如图所示，依据图中供应的信息，回答下列问题：

(1)从药物释放开头，求每立方米空气中的含药量(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，同学方可进教室，那么从药物释放开头，至少需要经过多少小时后，同学才能回到教室．
[解析]　(1)∵药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y与时间t成正比，
∴设y＝kt，代入点(0.1,1)，得k＝10，
∴y＝10t(0≤t≤0.1)．
同理，将点(0.1,1)代入解析式y＝()t－a，得a＝0.1，
综上可知y＝
(2)令y＝0.25，解得t1＝0.025，t2＝0.6，
∴从药物释放开头，至少需要0.6小时后，同学才能回到教室．