2020-2021学年人教A版高中数学选修2-2双基限时练9.docx
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双基限时练(九) 1.把长度为8的线段分成四段,围成一个矩形,矩形面积的最大值为( ) A.2 B.4 C.8 D.以上都不对 解析 由阅历知,矩形的周长肯定时,正方形面积最大,所以最大面积为2×2=4. 答案 B 2.正三棱柱体积是V,当其表面积最小时,底面边长a为( ) A. B. C. D.2 解析 设正三棱柱的高为h,则 V=a2sin60°·h=a2h,∴h=. 则正三棱柱的表面积S=2·a2+3ah =a2+3a·=a2+, ∴S′=a-, 令S′=0,得a=. 答案 C 3.某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是R(x)=则总利润最大时,每年生产的产量是( ) A.100 B.150 C.200 D.300 解析 当0≤x≤400时, Q(x)=400x-x2-20000-100x =-x2+300x-20000. Q′(x)=-x+300. 令Q′(x)=0,得x=300. 答案 D 4.一窗户的上部是半圆,下部是矩形,假如窗户面积为S,为使窗户周长最小,用料最省,圆的半径应为( ) A. B. C. D.2 解析 设圆半径为x,矩形的高记作h,那么窗户面积S=x2+2hx. 窗户周长为 l(x)=πx+2x+2h=x+2x+. 令l′(x)=+2-=0, 解得x= (舍去负值), ∵l(x)只有一个极值,因此x= 为最小值点. 答案 C 5.某银行预备新设一种定期存款业务,经猜测,存款量与存款利率成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸取的存款能够全部贷出去.若存款利率为x(x∈(0,0.048)),则存款利率为多少时,银行可获得最大收益为( ) A.0.012 B.0.024 C.0.032 D.0.036 解析 由题意知,存款量g(x)=kx(k>0),银行应支付的利息h(x)=xg(x)=kx2,x∈(0,0.048). 设银行可获得收益为y,则y=0.048kx-kx2. 于是y′=0.048k-2kx. 令y′=0,得x=0.024. 依题意知,y在x=0.024处取得最大值. 答案 B 6.四川地震灾区在党的领导下乐观恢复生产,重建家园时,某工厂需要建一个面积为512 m2矩形堆料场.一边可以利用原有的墙壁,其它三面需要砌新的墙壁,当砌墙所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为________. 解析 设矩形堆料场的长为x m,则宽为 m,所用材料f(x)=x+,f′(x)=1-. 令f′(x)=0,得x=32,宽为16. 答案 32 m 16 m 7.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆),若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为________. 解析 设甲地销售x辆,则乙地销售(15-x)辆. 总利润L=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30(x≥0). 令L′=-0.3x+3.06=0,得x=10.2. ∴当x=10时,L有最大值45.6. 答案 45.6万元 8.某公司规定:对于小于或等于150件的订购合同,每件售价为200元,对于多于150件的订购合同,每超过一件则每件售价比原来削减1元,当公司的收益最大时订购件数为________. 解析 设销售额为y,销售件数为x,则 y= 令g(x)=x·[200-(x-150)]=350x-x2,g′(x)=350-2x.解y′(x)=0,得x=175.易知,当x=175时,g(x)有最大值30625. 答案 175 9.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品.若该商品零售价定为p元,则销售量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8300-170p-p2.问该商品零售价定为多少时毛利润L最大,并求出最大毛利润.(毛利润=销售收入-进货支出) 解 设毛利润为L(p),由题意知 L(p)=p·Q-20Q=Q(p-20) =(8300-170p-p2)(p-20) =-p3-150p2+11700p-166000, L′(p)=-3p2-300p+11700, 令L′(p)=0,解得p=30,或p=-130(舍去). 此时,L(30)=23000. 由于在p=30四周的左侧L′(p)>0,右侧L′(p)<0,所以L(30)是极大值,依据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23000元. 答:该商品零售价定为每件30元时,毛利润最大,最大毛利润为23000元. 10.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使体积最大,求圆锥的高. 解 如图.设圆锥底面半径为r,高为h,于是 h2+r2=202, ∴r=. ∴V=πr2h=π(400-h2)·h=π(400h-h3). ∴V′=π(400-3h2). 令V′=0,解得h=. 当0<h<时,V′>0. 当h>时,V′<0. ∴h=时,圆锥形漏斗体积最大. 11.某单位用2160万元购得一块空地,方案在该地块上建筑一栋至少10层,每层2000平方米的楼房,经测算,假如将楼房建为x(x≥10)层,那么每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=) 解 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元, 则f(x)=(560+48x)+=560+48x+. f′(x)=48-. 令f′(x)=0,得x=15. 当x>15时,f′(x)>0,当0<x<15时,f′(x)<0,因此,当x=15时,f(x)取最小值f(15)=2000. 答:为了楼房每平方米的综合费用最少,该楼房应建为15层. 12.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两桥墩相距m米.余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,全部桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式; (2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小? 解 (1)设需新建n个桥墩,则(n+1)x=m,则n=-1, ∴y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256(-1)+(2+)x=m+m+2m-256. (2)由(1)知,f′(x)=-+mx-=(x-512). 令f′(x)=0,得x=512,所以x=64. 当0<x<64时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数; 当64<x<640时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数. ∴f(x)在x=64处取得最小值.此时n=-1=-1=9. 故需新建9个桥墩才能使y最小.- 配套讲稿:
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