【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第7章-第2节-一元二次不等式的解法及其应用.docx

第七章　其次节

一、选择题
1．不等式≤0的解集为(　　)
A．{x|－1≤x≤2} B．{x|－1<x≤2}
C．{x|－1≤x<2} D．{x|－1<x<2}
[答案]　B
[解析]　原不等式⇔⇔－1<x≤2.
2．已知不等式x2－x≤0的解集为M，且集合N＝{x|－1<x<1}，则M∩N为(　　)
A．[0,1) B．(0,1)
C．[0,1] D．(－1,0]
[答案]　A
[解析]　由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以M∩N为[0,1)．选A．
3．已知不等式x2－2x－3<0的整数解构成等差数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项为(　　)
A．3 B．－1
C．2 D．3或－1
[答案]　D
[解析]　∵x2－2x－3<0，∴－1<x<3.
∴a1＝0，a2＝1，a3＝2，a4＝3或a1＝2，a2＝1，a3＝0，a4＝－1.
4．(文)(2022·全国大纲卷)不等式组的解集为(　　)
A．{x|－2<x<－1} B．{x|－1<x<0}
C．{x|0<x<1} D．{x|x>1}
[答案]　C
[解析]　本题考查不等式(组)的解法．
由得∴0<x<1，留意解不等式组求交集．
(理)不等式≤x－2的解集是(　　)
A．(－∞，0]∪(2,4] B．[0,2)∪[4，＋∞)
C．[2,4) D．(－∞，2]∪(4，＋∞)
[答案]　B
[解析]　①当x－2>0，即x>2时，
不等式可化为(x－2)2≥4，∴x≥4；
②当x－2<0，即x<2时，
不等式可化为(x－2)2≤4，∴0≤x<2.
所以原不等式的解集为[0,2)∪[4，＋∞)．
5．函数f(x)＝3ax＋1－2a在(－1,1)上存在x0，使f(x0)＝0，则a的取值范围是(　　)
A．－1<a< B．a>
C．a<－1或a> D．a<－1
[答案]　C
[分析]　a≠0时，f(x)为一次函数，故由x0∈(－1,1)时，f(x0)＝0知，f(－1)与f(1)异号．
[解析]　由题意得f(－1)·f(1)<0，
即(－3a＋1－2a)·(3a＋1－2a)<0，
即(5a－1)(a＋1)>0，∴a<－1或a>.故选C．
6．(文)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　A
[解析]　∵a>0，∴不等式x2－2ax－8a2<0化为(x＋2a)(x－4a)<0，∴－2a<x<4a，
∵x2－x1＝15，∴4a－(－2a)＝15，∴a＝.
(理)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)
A．[15,20]
B．[12,25]
C．[10,30]
D．[20,30]
[答案]　C
[解析]　本题考查三角形相像及一元二次不等式的解法．设矩形的另一条边长为t，由相像学问得＝，
∴t＝40－x，所以(40－x)x≥300，即x2－40x＋300≤0，
解得10≤x≤30，故选C．
二、填空题
7．若不等式－4<2x－3<4与不等式x2＋px＋q<0的解集相同，则＝________.
[答案]　
[解析]　由－4<2x－3<4，得－<x<.
由题意得－＝－p，(－)×＝q，∴＝.
8．(文)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值值范围是________．
[答案]　(0,8)
[解析]　∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立，
∴Δ＝(－a)2－4·2a<0，
即a2－8a<0,0<a<8.故a的取值范围是(0,8)
(理)若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．
[答案]　－1<a<1
[解析]　令f(x)＝x2＋ax＋a2－1，
∴二次函数开口向上，若方程有一正根一负根，则只需f(0)<0，即a2－1<0，
∴－1<a<1.
9．关于x的不等式>0的解集为P，不等式log2(x2－1)≤1的解集为Q.若Q⊆P，则a的取值范围为________．
[答案]　[－1,1]
[解析]　当a≥－1时，P＝(－∞，－1)∪(a，＋∞)，
当a<－1时，P＝(－∞，a)∪(－1，＋∞)，
Q：∴
∴Q＝[－，－1)∪(1，)．
∵Q⊆P，P＝(－∞，－1)∪(a，＋∞)．
∴－1≤a≤1.
三、解答题
10．已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
[解析]　解法1：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图像的对称轴为x＝A．
①当a∈(－∞，－1)时，结合图像知，
f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a，恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a解得－3≤a＜－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.
解法2：由已知得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或，
解得－3≤a≤1.

一、选择题
1．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f ′(x)＞0的解集为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
[答案]　C
[解析]　由于f(x)＝x2－2x－4lnx，
∴f ′(x)＝2x－2－＝>0，
即，解得x>2，故选C．
2．已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．(－1,0) D．(0,1)
[答案]　C
[解析]　∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，
Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，
∴函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点．
因此f(－2)f(－1)<0，
∴(6a＋5)(2a＋3)<0.∴－<a<－.
又a∈Z，∴a＝－1，不等式f(x)>1即为－x2－x>0，
解得－1<x<0.故选C．
二、填空题
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________________．
[答案]　(－5,0)∪(5，＋∞)
[解析]　本题考查函数性质和解不等式应用．
当x>0时，x2－4x>x，∴x>5，
当x＝0时，f(0)＝0，不合题意．
当x<0时，－x>0时，f(－x)＝(－x)2＋4x＝x2＋4x，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－x2－4x>x，∴－5<x<0，
综上f(x)>x的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．
4．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，猜想六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
[答案]　20
[解析]　由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000，
化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，
解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去)．
∴x≥20，即x的最小值为20.
三、解答题
5．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上是减函数．又f ′＝.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[0，m](m>0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围．
[解析]　(1)f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由已知得f ′(0)＝f ′(1)＝0，
即解得
∴f ′(x)＝3ax2－3ax，∴f ′＝－＝，
∴a＝－2，
∴f(x)＝－2x3＋3x2.
(2)令f(x)≤x，即－2x3＋3x2－x≤0，
∴x(2x－1)(x－1)≥0，∴0≤x≤或x≥1.
又f(x)≤x在区间[0，m]上恒成立，
∴0<m≤.
6．(文)已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－3,2)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域；
(2)c为何值时，ax2＋bx＋c≤0的解集为R?
[解析]　由题意知f(x)的图像开口向下，即a<0，交x轴于两点A(－3,0)和B(2,0)，对称轴为x＝－(如图)，那么x＝－3或x＝2时，
y＝0.
代入原式
解得(舍)或.
∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(1)由图可知f(x)在[0,1]内单调递减，
∴ymin＝f(1)＝12，ymax＝f(0)＝18，值域为[12,18]．
(2)令g(x)＝－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，
即Δ≤0，∴c≤－.
(理)已知函数f(x)＝(x＋2)|x－2|.
(1)若不等式f(x)≤a在[－3,1]上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解不等式f(x)>3x.
[解析]　(1)当x∈[－3,1]时，f(x)＝(x＋2)|x－2|＝(x＋2)(2－x)＝－x2＋4.
∵－3≤x≤1，∴0≤x2≤9.
于是－5≤－x2＋4≤4.
即函数f(x)在[－3,1]上的最大值等于4.
∴要使不等式f(x)≤a在[－3,1]上恒成立，实数a的取值范围是[4，＋∞)．
(2)不等式f(x)>3x，即(x＋2)|x－2|－3x>0.
当x≥2时，原不等式等价于x2－3x－4>0，
解得x>4或x<－1.
又∵x≥2，∴x>4.
当x<2时，原不等式等价于4－x2－3x>0，
即x2＋3x－4<0，解得－4<x<1.满足x<2.
综上可知，原不等式的解集为{x|x>4或－4<x<1}．