【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第2章-第5节-指数与指数函数.docx

其次章　第五节

一、选择题
1．(文)在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝()x的图像之间的关系是(　　)
A．关于y轴对称　 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
[答案]　A
[解析]　∵y＝()x＝2－x，
∴它与函数y＝2x的图像关于y轴对称．
(理)(2021·东营质检)函数y＝3x与y＝－3－x的图像的对称图形为(　　)
A．x轴　 B．y轴
C．直线y＝x D．原点
[答案]　D
[解析]　由y＝－3－x得－y＝3－x，(x，y)→(－x，－y)，即关于原点中心对称．
2．函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　)
A．a＝1或a＝2　 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
[答案]　C
[解析]　由已知，得
即∴a＝2.
3．(文)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则(　　)
A．y3>y1>y2　 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
[答案]　D
[解析]　y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，
∵y＝2x在R上是单调递增函数，∴y1>y3>y2.
(理)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，则(　　)
A．f(－2)>f(－1)　 B．f(－1)>f(－2)
C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2)
[答案]　A
[解析]　∵f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，
∴a－2＝4，∴a＝，∴f(x)＝()－|x|＝2|x|，
∴f(－2)>f(－1)，故选A．
4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2]　 B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
[答案]　B
[解析]　∵f(1)＝，∴a2＝，
∵a>0且a≠1，∴a＝，
∴f(x)＝()|2x－4|，
∵t＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y＝()t为减函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减．
5．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝(　　)
A．5　 B．7
C．9 D．11
[答案]　B
[解析]　∵f(x)＝2x＋2－x，f(a)＝3，∴2a＋2－a＝3，f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a)2＋(2－a)2＝(2a＋2－a)2－2＝9－2＝7.
6．(文)给出下列结论：
①当a<0时，(a2)＝a3；
②＝|a|(n>1，n∈N＋，n为偶数)；
③函数f(x)＝(x－2)－(3x－7)0的定义域是{x|x≥2且x≠}；
④若2x＝16,3y＝，则x＋y＝7.
其中正确的是(　　)
A．①②　 B．②③
C．③④ D．②④
[答案]　B
[解析]　∵a<0时，(a2)>0，a3<0，∴①错；
②明显正确；解，得x≥2且x≠，∴③正确，
∵2x＝16，∴x＝4，∵3y＝＝3－3，∴y＝－3，
∴x＋y＝4＋(－3)＝1，∴④错．
(理)已知实数a、b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝B．其中不行能成立的关系式有(　　)
A．1个　 B．2个
C．3个 D．4个
[答案]　B
[解析]　作y＝x，y＝x的图像，如图

当x<0时，a＝b，则有a<b<0；
当x>0时，a＝b，则有0<b<a；
当x＝0时，a＝b，则有a＝b＝0.
故不行能成立的是③④.
二、填空题
7．(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0＝________.
[答案]　－19
[解析]　原式＝()－－＋1
＝500－10(＋2)＋1
＝10－10－20＋1＝－19.
8．(2021·襄樊调研)已知集合P＝{(x，y)|y＝m}，Q＝{(x，y)|y＝ax＋1，a>0，a≠1}，假如P∩Q有且只有一个元素，那么实数m的取值范围是________．
[答案]　(1，＋∞)
[解析]　假如P∩Q有且只有一个元素，即函数y＝m与y＝ax＋1(a>0，且a≠1)图像只有一个公共点．
∵y＝ax＋1>1，∴m>1.
∴m的取值范围是(1，＋∞)．
9．若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则a＝________.
[答案]　
[解析]　当a>1时，f(x)为增函数，
则即∴a＝.
当0<a<1时，f(x)为减函数，
∴∴无解．综上，a＝.
三、解答题
10．(文)设a是实数，f(x)＝a－(x∈R)．
(1)证明：对于任意实数a，f(x)在R上为增函数；
(2)试确定a的值，使f(x)为奇函数．
[解析]　(1)证明：设x1，x2∈R，x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝(a－)－(a－)
＝－＝.
又由指数函数y＝2x在R上是增函数，且x1<x2，
所以2x1<2x2，即2x1－2x2<0，
又由2x>0，得2x1＋1>0,2x2＋1>0，
所以，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．
由于此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)在R上为增函数．
(2)若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
即a－＝－(a－)，
变形得2a＝＋＝，
解得a＝1.所以当a＝1时，f(x)为奇函数．
(理)设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数．
(1)求a的值；
(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)解方程f(x)＝2.
[解析]　(1)∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)恒成立，即＋＝＋恒成立．
整理，得(a2－1)(e2x－1)＝0对任意实数x恒成立，
故a2－1＝0.又∵a>0，∴a＝1.
(2)证明：在(0，＋∞)任意取x1，x2，设0<x1<x2，
f(x1)－f(x2)＝ex2－ex1＋－
＝(ex2－ex1)＝ex1(ex2－x1－1)·，
由x1>0，x2>0，x2－x1>0，
得x1＋x2>0，ex2－x1－1>0,1－ex2＋x1<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由f(x)＝2，得ex＋＝2，即e2x－2ex＋1＝0.
∴ex＝1＝e0.∴x＝0.故方程f(x)＝2的根为x＝0.

一、选择题
1．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>}，则f(10x)>0的解集为(　　)
A．{x|x<－1或x>－lg2}　　 B．{x|－1<x<－lg2}
C．{x|x>－lg2}　 D．{x|x<－lg2}
[答案]　D
[解析]　由条件知f(x)>0的解集为{x|－1<x<}，
又已知f(10x)>0，∴－1<10x<，∴x<－lg2.
2．(2021·忻州联考)已知a>0且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时均有f(x)<，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，)∪[2，＋∞)　 B．[，1)∪(1,4]
C．[，1)∪(1,2] D．(0，)∪[4，＋∞)
[答案]　C
[解析]　由x2－ax<得ax>x2－，设函数y1＝ax，y2＝x2－，分别作出它们的图像，如图，由图易知，当0<a<1时，若x∈(－1,1)时均有ax>x2－，则x＝1时，a1≥12－＝，反之亦成立，同理，a>1时，可得1<a≤2.

二、填空题
3．(文)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
[答案]　m<n
[解析]　a＝∈(0,1)，函数f(x)＝ax在R上递减，由f(m)>f(n)得m<n.
(理)已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．
[答案]　m>n
[解析]　∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．
函数f(x)＝ax在R上递增，由f(m)>f(n)得m>n.
4．(文)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(1，＋∞)
[解析]　令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，若0<a<1，明显y＝ax与y＝x＋a的图像只有一个公共点；若a>1，y＝ax与y＝x＋a的图像如图所示．

(理)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是________．
[答案]　
[解析]　数形结合．

由图可知0<2a<1，∴0<a<.
三、解答题
5．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.
[分析]　(1)→→.
(2)→→→
[解析]　(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，从而有f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，
解得a＝2.经检验a＝2适合题意，
∴所求a，b的值分别为2,1.
(2)解法1：由(1)知f(x)＝＝－＋.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
又因f(x)是奇函数，
从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，等价于
f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.
从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
解法2：由(1)知f(x)＝，又由题设条件得
＋<0，
即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)·(－22t2－k＋1)<0.
整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0.
上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
6．已知f(x)＝3x，并且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[－1,1]．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)推断g(x)的单调性；
(3)若方程g(x)＝m有解，求m的取值范围．
[解析]　(1)由于f(a＋2)＝18，f(x)＝3x，
所以3a＋2＝18⇒3a＝2，
所以g(x)＝(3a)x－4x＝2x－4x，x∈[－1,1]．
(2)g(x)＝－(2x)2＋2x＝－2＋.
当x∈[－1,1]时，2x∈，
令t＝2x，所以y＝－t2＋t＝－2＋.
故当t∈时，y＝－t2＋t＝－2＋是削减的，
又t＝2x在[－1,1]上是增加的，
所以g(x)在[－1,1]上是削减的．
(3)由于方程g(x)＝m有解，即m＝2x－4x在[－1,1]内有解．由(2)知g(x)＝2x－4x在[－1,1]上是削减的，
所以－2≤m≤，
故m的取值范围是.