【全程复习方略】2020年人教A版数学文(广东用)课时作业：3.7正弦定理和余弦定理.docx

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课时提升作业(二十二)
一、选择题
1.（2021·珠海模拟）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，A=，cos B=，则b=( )

2.在△ABC中，若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为( )
(A)30° (B)45°
(C)135° (D)45°或135°
3.（2021·河源模拟）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的外形是( )
(A)钝角三角形 (B)直角三角形
(C)锐角三角形 (D)不能确定
4.在△ABC中,A=120°,b=1,面积为,则=( )

5.若满足条件C=60°,AB=,BC=a的△ABC有两个，那么a的取值范围是( )
(A)(1,) (B)(,)
(C)(,2) (D)(1, 2)
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=
2sin B,则A=( )
（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°
二、填空题
7.（2021·湛江模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且a=2，cos B=,b=3,则sin A=_______.
8.（2021·佛山模拟）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若
asin Asin B+bcos2A=,则=_______.
9.（2021·揭阳模拟）已知△ABC中，A,B,C分别是三个内角，已知2 (sin2A-sin2C)=(a-b)sin B,又△ABC的外接圆半径为，则角C的度数为_______.
三、解答题
10.（2021·深圳模拟）已知函数f(x)= sin xcos x-cos2x-,x∈R.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且c=3,f(C)=0,若sin(A+C)=
2sin A,求a,b的值.
11.（2021·东莞模拟）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，向量m=(1,cos B),n=(sin B,-),且m⊥n.
(1)求角B的大小.
(2)若△ABC面积为,3ac=25-b2，求a,c的值.
12.（力气挑战题）在△ABC中，A,B，C为三个内角，a,b,c为三条边,且
（1）推断△ABC的外形.
（2）若| |=2，求的取值范围.
答案解析
1.【解析】选C.∵cos B=,∴sin B=,
∴
则b=
2.【解析】选B.由已知A=60°,BC=a=4,AC=b=4及正弦定理
得sin B=
∴sin B=
故B=45°或B=135°（舍去）.
3.【思路点拨】利用正弦定理转化为边的关系，而后利用余弦定理推断.
【解析】选A.由sin2A+sin2B＜sin2C得
a2+b2＜c2，即a2+b2-c2＜0.
又∵cos C=，故cos C＜0.
又∵0＜C＜π,故＜C＜π,
所以△ABC是钝角三角形.
【方法技巧】三角形外形推断技巧
其基本技巧就是利用正、余弦定理快速实现边角互化，常规是边化角，再利用三角恒等变换公式结合三角形中角的关系正确推断三角形的外形.
4.【思路点拨】先依据三角形的面积公式求出边c的长,再由余弦定理可得边a的长,最终依据正弦定理得解.
【解析】选C.∵A=120°,∴sin A=,
S=×1×c×sin A=,∴c=4.
依据余弦定理可得,a2=b2+c2-2b·ccos A=21,
∴a=
依据正弦定理可知:
故选C.
5. 【解析】选C.由正弦定理得:

∴a=2sin A.
∵C=60°,∴0°＜A＜120°.
又∵△ABC有两个,如图所示：
∴asin 60°＜＜a,
即＜a＜2.
6.【思路点拨】由题目中已知等式的形式，利用正、余弦定理求解.
【解析】选A.由及sin C=2sin B,
得c=2b,
∴cos A=
∵A为△ABC的内角，∴A=30°.
7.【解析】由cos B=得sin B=,
故
因而sin A=
所以sin A=.
答案：
8.【解析】∵asin Asin B+bcos2A=,
∴由正弦定理得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A,
∴sin B(sin2A+cos2A)=sin B=sin A,
∴
答案：
9.【解析】∵2(sin2A-sin2C)=(a-b)sin B,外接圆半径r=,
∴2r(sin2A-sin2C)=(a-b)sin B,
∴2r2(sin2A-sin2C)=(a-b)rsin B.
∵依据正弦定理，a=2rsin A,b=2rsin B,c=2rsin C,
∴a2-c2=(a-b)b,即
又∵依据余弦定理得cos C=
∴cos C=,∴C=60°.
答案：60°
10.【解析】(1)f(x)= sin 2x--=sin(2x-)-1,
则f(x)的最大值为0，最小正周期是T==π.
(2)f(C)=sin(2C-)-1=0,则sin(2C-)=1,
∵0＜C＜π,∴0＜2C＜2π,∴-＜2C-＜.
∴2C-=,∴C=.
∵sin(A+C)=2sin A,由正弦定理得，①
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos,
即a2+b2-ab=9，②
由①②解得a=,b=2.
【变式备选】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，1+2cos (B+C)=0，求边BC上的高.
【解析】由1+2cos(B+C)=0和B+C=π-A，得
1-2cos A=0，cos A=，sin A=.
由正弦定理，得sin B=.
由b＜a知B＜A，所以B不是最大角，B＜，
从而cos B=
由上述结果知
sin C=sin(A+B)=
设边BC上的高为h，则有h=bsin C=
11.【解析】（1）m·n=(1,cos B)·(sin B,- )
=1×sin B+cos B×(-)
=sin B-cos B.
∵m⊥n，∴m·n=0,
∴sin B-cos B=0.
∵△ABC为锐角三角形，∴cos B≠0,
∴tan B=,
∵0＜B＜,∴B=.
(2)由b2=a2+c2-2accos B,得b2=a2+c2-ac,
代入3ac=25-b2得3ac=25-a2-c2+ac，
得a+c=5.
∵S△ABC=acsin B=ac×sin =ac,
由题设,得ac=6,
联立得
解得
12.【解析】（1）由及正弦定理有:
sin B=sin 2C,∴B=2C或B+2C=π.
若B=2C,且
B+C＞π(舍).
∴B+2C=π,则A=C,
∴△ABC为等腰三角形.
（2）∵||=2,
∴a2+c2+2ac·cos B=4,
∴cos B= (∵a=c),
而cos B=-cos 2C,
∴＜cos B＜1，∴1＜a2＜,∴=2-a2,
故∈(,1).
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